Упр.33.8 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) y = 2/x и y = x — 1; г) y = (x — 1)^2 и y = 2/x;
б) y = 3/x и y = x^2 + 2; д) y = 3/x и y = -|x — 1| + 3;
в) y = 4/x и y = |x + 1| — 4; е) y = 4/x и y = 2x — 2. Решите уравнение:
а) 6x(2x + 1) = 5x + 1; г) 8x(1 + 3x) = 8x — 1;
б) 2x(x — 8) = -x — 18; д) x(x — 5) = 1 — 4x;
в) (x — 2)^2 = 3x — 8; е) 5(x + 2)^2 = 6x + 44.
а) Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac{2}{x}$$ и $$y=x-1$$.
Приравняем значения функций:
$$\frac{2}{x}=x-1$$
$$2=x(x-1)$$
$$x^2-x-2=0$$
$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=-1$$
Тогда:
при $$x=2$$, $$y=2-1=1$$;
при $$x=-1$$, $$y=-1-1=-2$$.
Точки пересечения: $$(-1;\,-2)$$ и $$ (2;\,1)$$.
б) $$\frac{3}{x}=x^2+2$$
$$3=x(x^2+2)$$
$$x^3+2x-3=0$$
Проверим целый корень: при $$x=1$$ получаем $$1+2-3=0$$, значит, $$x=1$$ — корень.
Тогда $$x^3+2x-3=(x-1)(x^2+x+3)$$.
У квадратного уравнения $$x^2+x+3=0$$ нет действительных корней, так как $$D=1-12=-11<0$$.
Значит, $$x=1$$, и $$y=1^2+2=3$$.
Точка пересечения: $$ (1;\,3)$$.
в) $$\frac{4}{x}=|x+1|-4$$
По графику и проверкой получаем точки пересечения:
$$(-4;\,-1),\;(-1;\,-4),\;(4;\,1)$$.
г) $$\left(x-1\right)^2=\frac{2}{x}$$
$$x\left(x-1\right)^2=2$$
Проверим целые значения. При $$x=2$$:
$$2\cdot(2-1)^2=2$$
Значит, $$x=2$$, тогда $$y=\frac{2}{2}=1$$.
Точка пересечения: $$ (2;\,1)$$.
д) $$\frac{3}{x}=-|x-1|+3$$
По графику получаем точки пересечения:
$$(-3;\,-1),\;(1;\,3),\;(3;\,1)$$.
е) $$\frac{4}{x}=2x-2$$
$$4=x(2x-2)$$
$$2x^2-2x-4=0$$
$$x^2-x-2=0$$
$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=-1$$
Тогда:
при $$x=2$$, $$y=2\cdot2-2=2$$;
при $$x=-1$$, $$y=2\cdot(-1)-2=-4$$.
Точки пересечения: $$(-1;\,-4)$$ и $$ (2;\,2)$$.
а) $$6x(2x+1)=5x+1$$
$$12x^2+6x-5x-1=0$$
$$12x^2+x-1=0$$
$$D=1+48=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm7}{24}$$
$$x_1=-\frac{1}{3},\quad x_2=\frac{1}{4}$$
б) $$2x(x-8)=-x-18$$
$$2x^2-16x+x+18=0$$
$$2x^2-15x+18=0$$
$$D=225-144=81$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm9}{4}$$
$$x_1=\frac{3}{2},\quad x_2=6$$
в) $$\left(x-2\right)^2=3x-8$$
$$x^2-4x+4=3x-8$$
$$x^2-7x+12=0$$
$$\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0$$
$$x=3 \text{ или } x=4$$
г) $$8x(1+3x)=8x-1$$
$$8x+24x^2=8x-1$$
$$24x^2+1=0$$
Действительных корней нет.
д) $$x(x-5)=1-4x$$
$$x^2-5x=1-4x$$
$$x^2-x-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$
е) $$5(x+2)^2=6x+44$$
$$5(x^2+4x+4)=6x+44$$
$$5x^2+20x+20-6x-44=0$$
$$5x^2+14x-24=0$$
$$D=14^2-4\cdot5\cdot(-24)=196+480=676$$
$$x_{1,2}=\frac{-14\pm26}{10}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=\frac{6}{5}$$
Ответ
Графики: а) $$(-1;\,-2)$$ и $$ (2;\,1)$$; б) $$ (1;\,3)$$; в) $$(-4;\,-1),\;(-1;\,-4),\;(4;\,1)$$; г) $$ (2;\,1)$$; д) $$(-3;\,-1),\;(1;\,3),\;(3;\,1)$$; е) $$(-1;\,-4)$$ и $$ (2;\,2)$$.
Уравнения: а) $$x=-\frac{1}{3}$$ и $$x=\frac{1}{4}$$; б) $$x=\frac{3}{2}$$ и $$x=6$$; в) $$x=3$$ и $$x=4$$; г) корней нет; д) $$x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$; е) $$x=-4$$ и $$x=\frac{6}{5}$$.
