Упр.33.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Дана функция $$y=f(x)$$, где $$y=\frac{6}{x}$$.
а) Постройте график функции $$y=f(x)$$.
б) С помощью графика найдите $$f(1)$$, $$f(-2)$$, $$f(3)$$.
в) Выделите часть графика, соответствующую условию $$y<-2$$. При каких значениях $$x$$ выполняется условие $$y\ ?\ -2$$?
г) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $$[-6;-1]$$.
Решите уравнение:
а) $$0{,}6x^2-4{,}6x-8=0$$;
г) $$0{,}4x^2+4x+10=0$$;
б) $$\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{4}x+2=0$$;
д) $$\frac{2}{15}x^2-\frac{13}{15}x+1\frac{1}{3}=0$$;
в) $$x^2-\frac{1}{12}x-\frac{1}{2}=0$$;
е) $$\frac{1}{4}x^2-1\frac{3}{4}x+1{,}5=0$$.
а) Функция $$y=\frac{6}{x}$$ задаёт гиперболу. Для построения удобно взять несколько значений $$x$$ и найти соответствующие значения $$y$$:
| $$x$$ | $$-6$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$6$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y=\frac{6}{x}$$ | $$-1$$ | $$-2$$ | $$-3$$ | $$-6$$ | $$6$$ | $$3$$ | $$2$$ | $$1$$ |
По этим точкам строим две ветви гиперболы. Асимптоты графика: $$x=0$$ и $$y=0$$.
б) По графику (или по формуле) получаем:
$$f(1)=\frac{6}{1}=6,\quad f(-2)=\frac{6}{-2}=-3,\quad f(3)=\frac{6}{3}=2.$$
в) Решим неравенство:
$$\frac{6}{x}<-2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{6}{x}+2<0$$
$$\frac{6+2x}{x}<0$$
$$\frac{x+3}{x}<0.$$
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Получаем:
$$-3<x<0.$$
Значит, условие $$y<-2$$ выполняется при $$-3<x<0$$, а условие $$y\ge -2$$ — при $$x\le -3$$ или $$x>0$$.
г) На промежутке $$[-6;-1]$$ функция $$y=\frac{6}{x}$$ убывает, поэтому наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой:
$$f(-6)=-1,\quad f(-1)=-6.$$
Следовательно, $$y_{\max}=-1,$$ $$y_{\min}=-6.$$
Решим уравнения.
а) $$0{,}6x^2-4{,}6x-8=0$$
Умножим на $$5$$:
$$3x^2-23x-40=0.$$
$$D=(-23)^2-4\cdot 3\cdot(-40)=529+480=1009.$$
$$x_{1,2}=\frac{23\pm\sqrt{1009}}{6}.$$
б) $$\frac14x^2-\frac34x+2=0$$
Умножим на $$4$$:
$$x^2-3x+8=0.$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 8=9-32=-23.$$
Так как $$D<0$$, корней нет.
в) $$x^2-\frac{1}{12}x-\frac12=0$$
Умножим на $$12$$:
$$12x^2-x-6=0.$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 12\cdot(-6)=1+288=289=17^2.$$
$$x_1=\frac{1+17}{24}=\frac34,\quad x_2=\frac{1-17}{24}=-\frac23.$$
г) $$0{,}4x^2+4x+10=0$$
Умножим на $$2{,}5$$:
$$x^2+10x+25=0.$$
$$D=10^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0.$$
$$x=-\frac{10}{2}=-5.$$
д) $$\frac{2}{15}x^2-\frac{13}{15}x+1\frac13=0$$
Так как $$1\frac13=\frac43$$, умножим на $$15$$:
$$2x^2-13x+20=0.$$
$$D=(-13)^2-4\cdot 2\cdot 20=169-160=9.$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 3}{4}.$$
Отсюда $$x_1=4,\quad x_2=\frac52.$$
е) $$\frac14x^2-1\frac34x+1{,}5=0$$
Умножим на $$4$$:
$$x^2-7x+6=0.$$
$$D=49-24=25.$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 5}{2}.$$
Отсюда $$x_1=6,\quad x_2=1.$$
Ответ
а) Гипербола $$y=\frac{6}{x}$$; б) $$f(1)=6,\ f(-2)=-3,\ f(3)=2$$; в) $$y<-2$$ при $$-3<x<0$$, $$y\ge -2$$ при $$x\le -3$$ или $$x>0$$; г) $$y_{\max}=-1,\ y_{\min}=-6$$.
Уравнения: а) $$x=\frac{23\pm\sqrt{1009}}{6}$$; б) корней нет; в) $$x=-\frac23,\ \frac34$$; г) $$x=-5$$; д) $$x=\frac52,\ 4$$; е) $$x=1,\ 6$$.
