Упр.33.24 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а)
Обозначим
$$y=\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}, \quad y>0.$$
Тогда
$$y+\frac{1}{y}=2{,}5.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-2{,}5y+1=0.$$
Умножим на $$2$$:
$$2y^2-5y+2=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$y_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\quad y_2=\frac{5+3}{4}=2.$$
1) Если $$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=\frac12,$$ то
$$\frac{3x+2}{2x-3}=\frac14,$$
$$4(3x+2)=2x-3,$$
$$12x+8=2x-3,$$
$$10x=-11,\quad x=-1{,}1.$$
2) Если $$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=2,$$ то
$$\frac{3x+2}{2x-3}=4,$$
$$3x+2=4(2x-3),$$
$$3x+2=8x-12,$$
$$14=5x,\quad x=2{,}8.$$
б)
Исправим опечатку:
$$3\sqrt{\frac{x}{x-1}}-2{,}5=3\sqrt{1-\frac1x}.$$
Так как
$$1-\frac1x=\frac{x-1}{x},$$
получаем
$$3\sqrt{\frac{x}{x-1}}-2{,}5=3\sqrt{\frac{x-1}{x}}.$$
Обозначим
$$y=\sqrt{\frac{x}{x-1}}, \quad y>0.$$
Тогда
$$3y-2{,}5=\frac{3}{y}.$$
Умножим на $$y$$:
$$3y^2-2{,}5y-3=0.$$
Умножим на $$2$$:
$$6y^2-5y-6=0.$$
$$D=25+144=169,$$
$$y_1=\frac{5-13}{12}=-\frac23 \; \text{(не подходит)},\quad y_2=\frac{5+13}{12}=\frac32.$$
Тогда
$$\sqrt{\frac{x}{x-1}}=\frac32,$$
$$\frac{x}{x-1}=\frac94,$$
$$4x=9(x-1),$$
$$4x=9x-9,$$
$$5x=9,\quad x=1{,}8.$$
в)
Обозначим
$$y=\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}}, \quad y>0.$$
Тогда
$$y+\frac1y=\frac{10}{3}.$$
Умножим на $$3y$$:
$$3y^2-10y+3=0.$$
$$D=100-36=64,$$
$$y_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\quad y_2=\frac{10+8}{6}=3.$$
1) Если $$\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}}=\frac13,$$ то
$$\frac{x-1}{2x+1}=\frac19,$$
$$9(x-1)=2x+1,$$
$$7x=10,\quad x=\frac{10}{7}.$$
2) Если $$\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}}=3,$$ то
$$\frac{x-1}{2x+1}=9,$$
$$x-1=9(2x+1),$$
$$x-1=18x+9,$$
$$17x=-10,\quad x=-\frac{10}{17}.$$
г)
Обозначим
$$y=\sqrt{\frac{3x-1}{x}}, \quad y>0.$$
Тогда
$$4y-\frac1y=3.$$
Умножим на $$y$$:
$$4y^2-3y-1=0.$$
$$D=9+16=25,$$
$$y_1=\frac{3-5}{8}=-\frac14 \; \text{(не подходит)},\quad y_2=\frac{3+5}{8}=1.$$
Значит,
$$\sqrt{\frac{3x-1}{x}}=1,$$
$$\frac{3x-1}{x}=1,$$
$$3x-1=x,$$
$$2x=1,\quad x=0{,}5.$$