Упр.33.22 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

б) корень (х + 1) + корень (4x + 13) = корень (3х + 12);
в) корень (2х + 5) + корень (5х + 6) = корень (12x+25);
г) корень (2х + 3) — корень (4 — х) = корень (7 — х).

Подробный ответ

$$\sqrt{x+1}-\sqrt{9-x}=\sqrt{2x-12}$$
Возведём в квадрат:
$$x+1-2\sqrt{(x+1)(9-x)}+9-x=2x-12$$
$$-2\sqrt{9x-x^2+9-x}=2x-22$$
$$11-x=\sqrt{8x-x^2+9}$$
Снова возведём в квадрат:
$$\left(11-x\right)^2=8x-x^2+9$$
$$121-22x+x^2=8x-x^2+9$$
$$2x^2-30x+112=0$$
$$x^2-15x+56=0$$
$$D=225-224=1$$
$$x_1=\frac{15-1}{2}=7,\quad x_2=\frac{15+1}{2}=8$$
Проверка показывает, что оба корня подходят.
$$x=7,\;8$$
$$\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+13}=\sqrt{3x+12}$$
Возведём в квадрат:
$$x+1+2\sqrt{(x+1)(4x+13)}+4x+13=3x+12$$
$$2\sqrt{4x^2+17x+13}=-x-1$$
$$\sqrt{4x^2+17x+13}=-\frac{x+1}{2}$$
После возведения в квадрат получаем:
$$4x^2+17x+13=\frac{(x+1)^2}{4}$$
$$16x^2+68x+52=x^2+2x+1$$
$$15x^2+66x+51=0$$
$$5x^2+22x+17=0$$
$$D=22^2-4\cdot 5\cdot 17=144$$
$$x_1=\frac{-22-12}{10}=-\frac{17}{5},\quad x_2=\frac{-22+12}{10}=-1$$
Проверка: при $$x=-\frac{17}{5}$$ левая часть не имеет смысла, а при $$x=-1$$ равенство верно.
$$x=-1$$
$$\sqrt{2x+5}+\sqrt{5x+6}=\sqrt{12x+25}$$
Возведём в квадрат:
$$2x+5+2\sqrt{(2x+5)(5x+6)}+5x+6=12x+25$$
$$2\sqrt{10x^2+37x+30}=5x+14$$
$$4(10x^2+37x+30)=(5x+14)^2$$
$$40x^2+148x+120=25x^2+140x+196$$
$$15x^2+8x-76=0$$
$$D=68^2$$
$$x_1=\frac{-8-68}{30}=-\frac{38}{15},\quad x_2=\frac{-8+68}{30}=2$$
Проверка: $$x=-\frac{38}{15}$$ не подходит, а при $$x=2$$ равенство верно.
$$x=2$$
$$\sqrt{2x+3}-\sqrt{4-x}=\sqrt{7-x}$$
Возведём в квадрат:
$$2x+3-2\sqrt{(2x+3)(4-x)}+4-x=7-x$$
$$2x=2\sqrt{(2x+3)(4-x)}$$
$$x=\sqrt{5x-2x^2+12}$$
$$x^2=5x-2x^2+12$$
$$3x^2-5x-12=0$$
$$D=169$$
$$x_1=\frac{5-13}{6}=-\frac{4}{3},\quad x_2=\frac{5+13}{6}=3$$
Проверка: $$x=-\frac{4}{3}$$ не подходит, а при $$x=3$$ равенство верно.
$$x=3$$