Упр.33.21 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) корень (х + 7) = корень (3x+19) — -корень (х + 2);
в) корень (3х + 1) + корень (х-4) = 2 корень х;
г) корень (х — 2) + корень (х + 3) = корень (6х — 11).

1. $$\sqrt{4-2x}+\sqrt{2+x}=\sqrt{2x}$$

   Перенесём один корень вправо и возведём в квадрат:
   $$\sqrt{4-2x}=\sqrt{2x}-\sqrt{2+x}$$
   $$4-2x=2x-2\sqrt{2x}\sqrt{2+x}+2+x$$
   $$2\sqrt{4x+2x^2}=5x-2$$
   $$4(4x+2x^2)=(5x-2)^2$$
   $$16x+8x^2=25x^2-20x+4$$
   $$17x^2-36x+4=0$$
   $$D=36^2-4\cdot 17\cdot 4=1024=32^2$$
   $$x_1=\frac{36-32}{34}=\frac{2}{17},\qquad x_2=\frac{36+32}{34}=2.$$

   Проверка показывает, что $$x=\frac{2}{17}$$ не подходит, а при $$x=2$$ получаем верное равенство.

2. $$\sqrt{x+7}=\sqrt{3x+19}-\sqrt{x+2}$$

   Возведём в квадрат:
   $$x+7=3x+19-2\sqrt{3x+19}\sqrt{x+2}+x+2$$
   $$2\sqrt{3x^2+25x+38}=3x+14$$
   $$4(3x^2+25x+38)=(3x+14)^2$$
   $$12x^2+100x+152=9x^2+84x+196$$
   $$3x^2+16x-44=0$$
   $$D=16^2-4\cdot 3\cdot(-44)=784=28^2$$
   $$x_1=\frac{-16-28}{6}=-\frac{22}{3},\qquad x_2=\frac{-16+28}{6}=2.$$

   Проверка: $$x=-\frac{22}{3}$$ не подходит, а $$x=2$$ удовлетворяет уравнению.

3. $$\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}$$

   Возведём в квадрат:
   $$3x+1+2\sqrt{(3x+1)(x-4)}+x-4=4x$$
   $$2\sqrt{3x^2-11x-4}=3$$
   $$4(3x^2-11x-4)=9$$
   $$12x^2-44x-25=0$$
   $$D=44^2-4\cdot 12\cdot(-25)=3136=56^2$$
   $$x_1=\frac{44-56}{24}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{44+56}{24}=\frac{25}{6}.$$

   Значение $$x=-\frac12$$ не подходит по области определения, а при $$x=\frac{25}{6}$$ равенство верно.

4. $$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{6x-11}$$

   Возведём в квадрат:
   $$x-2+2\sqrt{(x-2)(x+3)}+x+3=6x-11$$
   $$2\sqrt{x^2+x-6}=4x-12$$
   $$\sqrt{x^2+x-6}=2x-6$$
   $$x^2+x-6=(2x-6)^2$$
   $$3x^2-25x+42=0$$
   $$D=25^2-4\cdot 3\cdot 42=121=11^2$$
   $$x_1=\frac{25-11}{6}=\frac73,\qquad x_2=\frac{25+11}{6}=6.$$

   Проверка показывает, что $$x=\frac73$$ не подходит, а $$x=6$$ является решением.

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=2$$; в) $$x=\frac{25}{6}$$; г) $$x=6$$.