Упр.33.20 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

30.20. a) корень (15 — х) + корень (3 — х) = 6;
б) корень (3х + 7) — корень (x+1) = 2;
в) корень (х — 1) — корень (6 — х) = 1;
г) корень (x -2) + корень (x+3) = 2.

Подробный ответ

$$\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6$$

Перенесём один корень:
$$\sqrt{15-x}=6-\sqrt{3-x}$$
Возведём в квадрат:
$$ 15-x=36-12\sqrt{3-x}+3-x $$
$$ 12\sqrt{3-x}=24 $$
$$ \sqrt{3-x}=2 $$
$$ 3-x=4,\quad x=-1 $$
Проверка:
$$ \sqrt{15-(-1)}+\sqrt{3-(-1)}=\sqrt{16}+\sqrt{4}=4+2=6 $$
$$\sqrt{3x+7}-\sqrt{x+1}=2$$
Перенесём второй корень:
$$\sqrt{3x+7}=2+\sqrt{x+1}$$
Возведём в квадрат:
$$ 3x+7=4+4\sqrt{x+1}+x+1 $$
$$ 2x+2=4\sqrt{x+1} $$
$$ x+1=2\sqrt{x+1} $$
Возведём в квадрат ещё раз:
$$ (x+1)^2=4(x+1) $$
$$ x^2+2x+1=4x+4 $$
$$ x^2-2x-3=0 $$
$$ (x-3)(x+1)=0 $$
$$ x=3 \text{ или } x=-1 $$
Проверка:
$$ x=-1:\ \sqrt{4}-\sqrt{0}=2 $$
$$ x=3:\ \sqrt{16}-\sqrt{4}=2 $$
$$\sqrt{x-1}-\sqrt{6-x}=1$$
Перенесём второй корень:
$$\sqrt{x-1}=1+\sqrt{6-x}$$
Возведём в квадрат:
$$ x-1=1+2\sqrt{6-x}+6-x $$
$$ 2x-8=2\sqrt{6-x} $$
$$ x-4=\sqrt{6-x} $$
Возведём в квадрат:
$$ (x-4)^2=6-x $$
$$ x^2-8x+16=6-x $$
$$ x^2-7x+10=0 $$
$$ (x-2)(x-5)=0 $$
$$ x=2 \text{ или } x=5 $$
Проверка:
$$ x=2:\ \sqrt{1}-\sqrt{4}=1-2\ne 1 $$
$$ x=5:\ \sqrt{4}-\sqrt{1}=2-1=1 $$
$$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=2$$
Перенесём один корень:
$$\sqrt{x-2}=2-\sqrt{x+3}$$
Возведём в квадрат:
$$ x-2=4-4\sqrt{x+3}+x+3 $$
$$ 4\sqrt{x+3}=9 $$
$$ \sqrt{x+3}=\frac{9}{4} $$
Тогда
$$ x+3=\frac{81}{16},\quad x=\frac{33}{16} $$
Проверка:
$$ \sqrt{\frac{33}{16}-2}+\sqrt{\frac{33}{16}+3} =\sqrt{\frac{1}{16}}+\sqrt{\frac{81}{16}} =\frac14+\frac94=\frac{10}{4}\ne 2 $$
Значит, корней нет.