Упр.33.19 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
б) корень (x + 8) = корень (7x + 9) — 1;
в) корень (x-13) = корень (х + 8) — 3;
г) корень (3x — 5) = 1 + корень (x — 2).
$$\sqrt{x+1}=2+\sqrt{x-19}$$
ОДЗ: $$x+1\ge 0,\; x-19\ge 0,$$ значит $$x\ge 19.$$
Возведём в квадрат:
$$x+1=4+4\sqrt{x-19}+x-19$$
$$16=4\sqrt{x-19}$$
$$4=\sqrt{x-19}$$
$$16=x-19$$
$$x=35.$$
Проверка:
$$\sqrt{35+1}=2+\sqrt{35-19}$$
$$6=2+4$$
$$6=6.$$
$$\sqrt{x+8}=\sqrt{7x+9}-1$$
ОДЗ: $$x+8\ge 0,\; 7x+9\ge 0.$$
Возведём в квадрат:
$$x+8=7x+9-2\sqrt{7x+9}+1$$
$$2\sqrt{7x+9}=6x+2$$
$$\sqrt{7x+9}=3x+1$$
$$7x+9=(3x+1)^2$$
$$7x+9=9x^2+6x+1$$
$$9x^2-x-8=0$$
$$D=1+4\cdot 9\cdot 8=289=17^2$$
$$x_1=\frac{1-17}{18}=-\frac{8}{9},\qquad x_2=\frac{1+17}{18}=1.$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=1.$$
$$\sqrt{x-13}=\sqrt{x+8}-3$$
ОДЗ: $$x-13\ge 0,\; x+8\ge 0,$$ значит $$x\ge 13.$$
Возведём в квадрат:
$$x-13=x+8-6\sqrt{x+8}+9$$
$$6\sqrt{x+8}=30$$
$$\sqrt{x+8}=5$$
$$x+8=25$$
$$x=17.$$
Проверка:
$$\sqrt{17-13}=\sqrt{17+8}-3$$
$$2=5-3$$
$$2=2.$$
$$\sqrt{3x-5}=1+\sqrt{x-2}$$
ОДЗ: $$3x-5\ge 0,\; x-2\ge 0,$$ значит $$x\ge 2.$$
Возведём в квадрат:
$$3x-5=1+2\sqrt{x-2}+x-2$$
$$2x-4=2\sqrt{x-2}$$
$$x-2=\sqrt{x-2}$$
Пусть $$t=\sqrt{x-2},\; t\ge 0.$$ Тогда $$t^2=t,$$ откуда $$t(t-1)=0.$$
Следовательно, $$t=0$$ или $$t=1.$$
Тогда:
$$x-2=0 \Rightarrow x=2,$$
$$x-2=1 \Rightarrow x=3.$$
Проверка показывает, что оба корня подходят.
Ответ
а) $$x=35$$; б) $$x=1$$; в) $$x=17$$; г) $$x=2,\; x=3$$.
