Упр.33.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (x(x + 1))/3 — (x/4 — 1)(x + 2) < (x(x - 9))/12 - 2 2/3; б) (x(x - 9))/6 - 4/15 > (x + 1)^2/15 + (0,5x + 1)(0,2x — 2). а) Чемпионат России по футболу проводится в два круга. В сезоне 2017/2018 всего было сыграно 240 матчей. Сколько команд участвовало в чемпионате, если каждая команда играла с каждой по одному матчу в каждом круге?
б) Несколько одноклассников после окончания школы решили обменяться фотокарточками (каждый с каждым). Сколько выпускников обменялись фотокарточками, если всего было роздано 210 фотографий?

Подробный ответ

а) Преобразуем неравенство:
$$\frac{x(x+1)}{3}-\left(\frac{x}{4}-1\right)(x+2)<\frac{x(x-9)}{12}-2\frac{2}{3}$$
$$\frac{x^2+x}{3}-\frac{(x-4)(x+2)}{4}<\frac{x^2-9x}{12}-\frac{8}{3}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{4x^2+4x-3(x^2-2x-8)}{12}<\frac{x^2-9x-32}{12}$$
$$\frac{x^2+10x+24}{12}<\frac{x^2-9x-32}{12}$$
Умножим на 12:
$$x^2+10x+24<x^2-9x-32$$
$$19x<-56$$
$$x<-\frac{56}{19}$$
б) Преобразуем неравенство:
$$\frac{x(x-9)}{6}-\frac{4}{15}>\frac{(x+1)^2}{15}+(0{,}5x+1)(0{,}2x-2)$$
$$\frac{5x^2-45x-8}{30}>\frac{(x+1)^2}{15}+\left(0{,}1x^2-x+0{,}2x-2\right)$$
$$\frac{5x^2-45x-8}{30}>\frac{x^2+2x+1}{15}+0{,}1x^2-0{,}8x-2$$
$$\frac{5x^2-45x-8}{30}>\frac{2{,}5x^2-10x-29}{15}$$
Умножим на 30:
$$5x^2-45x-8>2(2{,}5x^2-10x-29)$$
$$5x^2-45x-8>5x^2-20x-58$$
$$-25x>-50$$
$$x<2$$
а) Пусть в чемпионате участвовало $$x$$ команд. Тогда каждая команда сыграла с каждой по $$x-1$$ матчу, а всего было сыграно $$x(x-1)$$ матчей.
Составим уравнение:
$$x(x-1)=240$$
$$x^2-x-240=0$$
$$D=1+4\cdot240=961=31^2$$
$$x=\frac{1\pm31}{2}$$
$$x_1=-15$$ — не подходит, $$x_2=16$$.
Значит, в чемпионате участвовало 16 команд.
б) Пусть фотокарточками обменялись $$x$$ выпускников. Тогда каждый дал каждому по одной фотокарточке, всего было роздано $$x(x-1)$$ фотографий.
Составим уравнение:
$$x(x-1)=210$$
$$x^2-x-210=0$$
$$D=1+4\cdot210=841=29^2$$
$$x=\frac{1\pm29}{2}$$
$$x_1=-14$$ — не подходит, $$x_2=15$$.
Значит, фотокарточками обменялись 15 выпускников.