Упр.33.15 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Постройте график функции: а) $$y=\frac{2x-4}{x^2-2x}$$; б) $$y=\frac{\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^2+2x}$$.
- а) Найдите три последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равна $$974$$.
б) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на $$307$$. Найдите эти числа.
а)
Преобразуем функцию:
$$y=\frac{2x-4}{x^2-2x}=\frac{2(x-2)}{x(x-2)}=\frac{2}{x}, \quad x\ne 0,\ x\ne 2.$$Значит, график функции совпадает с графиком $$y=\frac{2}{x}$$, но точка при $$x=2$$ выколота.
Для построения возьмём несколько точек:
$$x$$ $$-4$$ $$-2$$ $$-1$$ $$1$$ $$2$$ $$4$$ $$y=\frac{2}{x}$$ $$-0{,}5$$ $$-1$$ $$-2$$ $$2$$ $$1$$ $$0{,}5$$ По этим точкам строим гиперболу $$y=\frac{2}{x}$$, при этом точку $$\left(2;1\right)$$ не отмечаем.
б)
Преобразуем функцию:
$$y=\frac{\frac13x+\frac23}{x^2+2x}=\frac{\frac13(x+2)}{x(x+2)}=\frac{1}{3x}, \quad x\ne 0,\ x\ne -2.$$Значит, график функции совпадает с графиком $$y=\frac{1}{3x}$$, но точка при $$x=-2$$ выколота.
Для построения возьмём несколько точек:
$$x$$ $$-3$$ $$-2$$ $$-1$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$y=\frac{1}{3x}$$ $$-\frac19$$ $$-\frac16$$ $$-\frac13$$ $$\frac13$$ $$\frac16$$ $$\frac19$$ По этим точкам строим график $$y=\frac{1}{3x}$$, при этом точку $$\left(-2;-\frac16\right)$$ не отмечаем.
а) Пусть три последовательных натуральных числа: $$x-1,\ x,\ x+1$$.
Тогда:
$$(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=974.$$Раскроем скобки:
$$x^2-2x+1+x^2+x^2+2x+1=974$$
$$3x^2+2=974$$
$$3x^2=972$$
$$x^2=324$$
$$x=18$$
(значение $$x=-18$$ не подходит).Следовательно, числа: $$17,\ 18,\ 19$$.
б) Пусть два последовательных натуральных числа: $$x$$ и $$x+1$$.
По условию:
$$x^2+(x+1)^2-x(x+1)=307.$$Преобразуем:
$$x^2+x^2+2x+1-x^2-x=307$$
$$x^2+x+1=307$$
$$x^2+x-306=0.$$Найдём корни:
$$D=1+4\cdot 306=1225=35^2$$
$$x=\frac{-1\pm 35}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=17,\quad x_2=-18.$$
Подходит только $$x=17$$.Значит, числа: $$17$$ и $$18$$.
Ответ
а) $$y=\frac{2}{x},\ x\ne 0,\ x\ne 2$$; б) $$y=\frac{1}{3x},\ x\ne 0,\ x\ne -2$$;
а) $$17,\ 18,\ 19$$; б) $$17,\ 18$$.
