Упр.33.15 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) корень x = х — 2 и х2 = 5х — 4;
в) корень (7 — х) = -2 и х2 + 4х + 8 = 0;
г) корень (4x + 1) = х — 1 и х2 — 12х + 36 = 0.

1. а)

   $$\sqrt{x+1}=3,\qquad x^2-7x-8=0$$
   $$x+1=9,\qquad x=8$$
   $$x^2-7x-8=0$$
   $$D=49+32=81$$
   $$x_1=\frac{7-9}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{7+9}{2}=8$$
   У первого уравнения корень $$x=8$$, у второго — $$x=-1,\;8$$. Множества корней разные, значит, уравнения неравносильны.

2. б)

   $$\sqrt{x}=x-2,\qquad x^2=5x-4$$
   Область определения: $$x\ge 0,\; x-2\ge 0,\; x\ge 2.$$
   Возведём первое уравнение в квадрат:
   $$x=(x-2)^2$$
   $$x=x^2-4x+4$$
   $$x^2-5x+4=0$$
   $$D=25-16=9$$
   $$x_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad x_2=\frac{5+3}{2}=4$$
   С учётом ОДЗ подходит только $$x=4$$.
   Для второго уравнения:
   $$x^2-5x+4=0$$
   $$D=9$$
   $$x_1=1,\qquad x_2=4$$
   С учётом ОДЗ подходит только $$x=4$$.
   Оба уравнения имеют одно и то же множество корней, значит, они равносильны.

3. в)

   $$\sqrt{7-x}=-2,\qquad x^2+4x+8=0$$
   Левая часть не может быть отрицательной, поэтому первое уравнение корней не имеет.
   Для второго:
   $$D=16-32=-16<0$$ Корней нет. Оба уравнения не имеют решений, значит, они равносильны.

4. г)

   $$\sqrt{4x+1}=x-1,\qquad x^2-12x+36=0$$
   ОДЗ: $$4x+1\ge 0,\; x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1.$$
   Возведём первое уравнение в квадрат:
   $$4x+1=(x-1)^2$$
   $$4x+1=x^2-2x+1$$
   $$x^2-6x=0$$
   $$x(x-6)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=6$$
   С учётом ОДЗ подходит только $$x=6$$.
   Второе уравнение:
   $$x^2-12x+36=0$$
   $$\left(x-6\right)^2=0$$
   $$x=6$$
   Множества корней совпадают, значит, уравнения равносильны.

Ответ

а) неравносильны; б) равносильны; в) равносильны; г) равносильны.