Упр.33.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) Найдите f(-3), f(0), f(2).
б) Постройте график функции у = f(x).
в) При каких значениях x выполняются равенства f(x) = -3, f(x) = -1, f(x) = -2?
г) Перечислите свойства функции. Решите биквадратное уравнение.
а) 16x^4 — 40x^2 + 9 = 0; г) 36x^4 — 25x^2 + 4 = 0;
б) 4x^4 + 35x^2 — 9 = 0; д) 4x^4 — 17x^2 + 4 = 0;
в) 4x^4 + 13x^2 + 9 = 0; е) 9x^4 + 20x^2 — 64 = 0.

1. Функция задана по частям:

   $$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{6}{x}, & -6 \le x < -1,\\ -(x-1)^2-2, & -1 \le x < 2,\\ 2x-7, & 2 \le x \le 5. \end{cases} $$

   а)

   $$ f(-3)=\dfrac{6}{-3}=-2, $$

   $$ f(0)=-(0-1)^2-2=-1-2=-3, $$

   $$ f(2)=2\cdot 2-7=4-7=-3. $$

   б) График состоит из трёх частей:

   • ветвь гиперболы $$y=\dfrac{6}{x}$$ на промежутке $$[-6;-1)$$;
   • часть параболы $$y=-(x-1)^2-2$$ на промежутке $$[-1;2)$$, вершина $$ (1;-2) $$, ветви направлены вниз;
   • отрезок прямой $$y=2x-7$$ на промежутке $$[2;5]$$.

   Опорные точки:

   $$ (-6;-1),\ (-3;-2),\ (-2;-3),\ (-1;-6), $$

   $$ (-1;-6),\ (0;-3),\ (1;-2),\ (2;-3), $$

   $$ (2;-3),\ (5;3). $$

   в) Решим уравнения по частям.

   $$ \frac{6}{x}=-3 \Rightarrow x=-2; $$

   $$ -(x-1)^2-2=-1 \Rightarrow (x-1)^2=-1, $$

   действительных решений нет;

   $$ 2x-7=-1 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3. $$

   Теперь для $$f(x)=-2$$:

   $$ \frac{6}{x}=-2 \Rightarrow x=-3; $$

   $$ -(x-1)^2-2=-2 \Rightarrow (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1; $$

   $$ 2x-7=-2 \Rightarrow 2x=5 \Rightarrow x=\frac{5}{2}. $$

   г) Свойства функции:

   • область определения: $$[-6;5]$$;
   • область значений: $$[-6;3]$$;
   • наибольшее значение: $$3$$, наименьшее значение: $$-6$$;
   • функция убывает на $$[-6;-1]$$ и $$[1;2]$$;
   • функция возрастает на $$[-1;1]$$ и $$[2;5]$$;
   • функция непрерывна на своей области определения;
   • $$f(x)<0$$ при $$x\in[-6;\frac{7}{2})$$, $$f(x)=0$$ при $$x=\frac{7}{2}$$, $$f(x)>0$$ при $$x\in(\frac{7}{2};5]$$.

2. а) $$16x^4-40x^2+9=0$$.

   Пусть $$x^2=t$$. Тогда

   $$ 16t^2-40t+9=0. $$

   $$ D=40^2-4\cdot 16\cdot 9=1600-576=1024. $$

   $$ t=\frac{40\pm 32}{32}. $$

   $$ t_1=\frac14,\quad t_2=\frac94. $$

   Значит,

   $$ x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm \frac12, $$

   $$ x^2=\frac94 \Rightarrow x=\pm \frac32. $$

   б) $$4x^4+35x^2-9=0$$.

   Пусть $$x^2=t$$. Тогда

   $$ 4t^2+35t-9=0. $$

   $$ D=35^2-4\cdot 4\cdot(-9)=1225+144=1369. $$

   $$ t=\frac{-35\pm 37}{8}. $$

   $$ t_1=-9,\quad t_2=\frac14. $$

   Подходит только $$t=\frac14$$, поэтому

   $$ x=\pm \frac12. $$

   в) $$4x^4+13x^2+9=0$$.

   Пусть $$x^2=t$$. Тогда

   $$ 4t^2+13t+9=0. $$

   $$ D=13^2-4\cdot 4\cdot 9=169-144=25. $$

   $$ t=\frac{-13\pm 5}{8}. $$

   $$ t_1=-\frac94,\quad t_2=-1. $$

   Оба значения отрицательны, значит действительных корней нет.

   г) $$36x^4-25x^2+4=0$$.

   Пусть $$x^2=t$$. Тогда

   $$ 36t^2-25t+4=0. $$

   $$ D=25^2-4\cdot 36\cdot 4=625-576=49. $$

   $$ t=\frac{25\pm 7}{72}. $$

   $$ t_1=\frac14,\quad t_2=\frac49. $$

   Следовательно,

   $$ x=\pm \frac12,\quad x=\pm \frac23. $$

   д) $$4x^4-17x^2+4=0$$.

   Пусть $$x^2=t$$. Тогда

   $$ 4t^2-17t+4=0. $$

   $$ D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225. $$

   $$ t=\frac{17\pm 15}{8}. $$

   $$ t_1=\frac14,\quad t_2=4. $$

   Значит,

   $$ x=\pm \frac12,\quad x=\pm 2. $$

   е) $$9x^4+20x^2-64=0$$.

   Пусть $$x^2=t$$. Тогда

   $$ 9t^2+20t-64=0. $$

   $$ D=20^2-4\cdot 9\cdot(-64)=400+2304=2704. $$

   $$ t=\frac{-20\pm 52}{18}. $$

   $$ t_1=-4,\quad t_2=\frac{16}{9}. $$

   Подходит только $$t=\frac{16}{9}$$, поэтому

   $$ x=\pm \frac43. $$

Ответ

а) $$f(-3)=-2,\ f(0)=-3,\ f(2)=-3.$$

в) $$f(x)=-3$$ при $$x=-2$$ и $$x=3$$; $$f(x)=-1$$ — решений нет; $$f(x)=-2$$ при $$x=-3,\ 1,\ \frac52.$$

г) $$D(f)=[-6;5],\ E(f)=[-6;3],\ f_{\max}=3,\ f_{\min}=-6,$$ функция убывает на $$[-6;-1]$$ и $$[1;2]$$, возрастает на $$[-1;1]$$ и $$[2;5]$$.

Биквадратные уравнения:

а) $$x=\pm \frac12,\ \pm \frac32$$;

б) $$x=\pm \frac12$$;

в) корней нет;

г) $$x=\pm \frac12,\ \pm \frac23$$;

д) $$x=\pm \frac12,\ \pm 2$$;

е) $$x=\pm \frac43$$.