Упр.33.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) Найдите f(-4), f(0), f(1), f(3), f(6), f(7).
б) Постройте график функции у = f(x).
в) При каких значениях х справедливы равенства f(x) = — 1, f(x) = 0, f(x) = 3?
г) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 3]. Решите биквадратное уравнение.
а) x^4 — 8x^2 + 16 = 0; г) x^4 — 10x^2 + 25 = 0;
б) x^4 — 17x^2 + 16 = 0; д) x^4 + 5x^2 — 36 = 0;
в) 4x^4 — 37x^2 + 9 = 0; е) 9x^4 + 32x^2 — 16 = 0.
Дана функция
$$ f(x)= \begin{cases} (x+1)^2-1, & -4\le x<1,\\ \dfrac{3}{x}, & 1\le x\le 6. \end{cases} $$
а) Найдём значения функции:
$$ f(-4)=(-4+1)^2-1=(-3)^2-1=9-1=8; $$
$$ f(0)=(0+1)^2-1=1-1=0; $$
$$ f(1)=\dfrac{3}{1}=3; $$
$$ f(3)=\dfrac{3}{3}=1; $$
$$ f(6)=\dfrac{3}{6}=\dfrac12; $$
$$ f(7)\ \text{не существует, так как } 7 \notin D(f). $$
б) Построим график функции.
На промежутке $$-4\le x<1$$ график задаётся параболой $$y=(x+1)^2-1$$ с вершиной $$(-1;-1)$$, ветви направлены вверх.
На промежутке $$1\le x\le 6$$ график задаётся ветвью гиперболы $$y=\dfrac{3}{x}$$.
Для построения отметим несколько точек:
$$ (1;3),\ (2;1{,}5),\ (3;1),\ (6;0{,}5). $$
в) Решим уравнения:
1) $$f(x)=-1$$. На первой ветви:
$$ (x+1)^2-1=-1 \Rightarrow (x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1. $$
На второй ветви $$\dfrac{3}{x}=-1 \Rightarrow x=-3$$, но это значение не принадлежит промежутку $$[1;6]$$. Значит, $$x=-1$$.
2) $$f(x)=0$$.
На первой ветви:
$$ (x+1)^2-1=0 \Rightarrow (x+1)^2=1 \Rightarrow x=-2 \text{ или } x=0. $$
На второй ветви $$\dfrac{3}{x}=0$$ решений нет.
3) $$f(x)=3$$.
На первой ветви:
$$ (x+1)^2-1=3 \Rightarrow (x+1)^2=4 \Rightarrow x=-3 \text{ или } x=1. $$
Но $$x=1$$ не входит в промежуток $$-4\le x<1$$, значит здесь подходит только $$x=-3$$.
На второй ветви:
$$ \dfrac{3}{x}=3 \Rightarrow x=1. $$
Итак, $$x=-3$$ и $$x=1$$.
г) На отрезке $$[0;3]$$:
На первой ветви при $$0\le x<1$$ функция $$y=(x+1)^2-1$$ возрастает, поэтому
$$ f(0)=0,\qquad \lim_{x\to 1-} f(x)=3. $$
На второй ветви при $$1\le x\le 3$$ функция $$y=\dfrac{3}{x}$$ убывает, поэтому
$$ f(1)=3,\qquad f(3)=1. $$
Следовательно, наименьшее значение на $$[0;3]$$ равно $$0$$, а наибольшее — $$3$$.
Решим биквадратные уравнения.
а) $$x^4-8x^2+16=0$$
$$ (x^2-4)^2=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2. $$
б) $$x^4-17x^2+16=0$$
Пусть $$x^2=t$$. Тогда
$$ t^2-17t+16=0, $$
$$ D=17^2-4\cdot 16=289-64=225, $$
$$ t_{1,2}=\dfrac{17\pm 15}{2}. $$
Получаем $$t_1=1$$, $$t_2=16$$, значит
$$ x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,\qquad x^2=16 \Rightarrow x=\pm 4. $$
в) $$4x^4-37x^2+9=0$$
Пусть $$x^2=t$$. Тогда
$$ 4t^2-37t+9=0, $$
$$ D=37^2-4\cdot 4\cdot 9=1369-144=1225, $$
$$ t_{1,2}=\dfrac{37\pm 35}{8}. $$
Получаем $$t_1=\dfrac14$$, $$t_2=9$$, значит
$$ x^2=\dfrac14 \Rightarrow x=\pm \dfrac12,\qquad x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3. $$
г) $$x^4-10x^2+25=0$$
$$ (x^2-5)^2=0 \Rightarrow x^2=5 \Rightarrow x=\pm \sqrt5. $$
д) $$x^4+5x^2-36=0$$
Пусть $$x^2=t$$. Тогда
$$ t^2+5t-36=0, $$
$$ D=5^2+4\cdot 36=25+144=169, $$
$$ t_{1,2}=\dfrac{-5\pm 13}{2}. $$
Получаем $$t_1=-9$$, $$t_2=4$$. Так как $$x^2\ge 0$$, значение $$t=-9$$ не подходит. Тогда
$$ x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2. $$
е) $$9x^4+32x^2-16=0$$
Пусть $$x^2=t$$. Тогда
$$ 9t^2+32t-16=0, $$
$$ D=32^2-4\cdot 9\cdot (-16)=1024+576=1600, $$
$$ t_{1,2}=\dfrac{-32\pm 40}{18}. $$
Получаем $$t_1=-4$$, $$t_2=\dfrac49$$. Значение $$t=-4$$ не подходит, поэтому
$$ x^2=\dfrac49 \Rightarrow x=\pm \dfrac23. $$
Ответ
а) $$f(-4)=8,\ f(0)=0,\ f(1)=3,\ f(3)=1,\ f(6)=\dfrac12,\ f(7)$$ не существует.
в) $$f(x)=-1$$ при $$x=-1$$; $$f(x)=0$$ при $$x=-2$$ и $$x=0$$; $$f(x)=3$$ при $$x=-3$$ и $$x=1$$.
г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=3.$$
Биквадратные уравнения: а) $$x=\pm 2$$; б) $$x=\pm 1,\ \pm 4$$; в) $$x=\pm \dfrac12,\ \pm 3$$; г) $$x=\pm \sqrt5$$; д) $$x=\pm 2$$; е) $$x=\pm \dfrac23$$.
