Упр.33.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. При каких значениях $$x$$ прямая:
а) $$y=2x-2$$ расположена ниже гиперболы $$y=\frac{4}{x}$$;
б) $$y=\frac{1}{2}x-2$$ расположена выше гиперболы $$y=\frac{6}{x}$$? - Задание учебника 2019 года. Решите уравнение:
а) $$x^2+5x-\frac{6|x|}{x}=0$$;
б) $$\frac{x^3}{|x|}-7x+12=0$$;
в) $$x\cdot|x|-2x-15=0$$;
г) $$x^2+\frac{5x^2}{|x|}-6=0$$;
д) $$x\cdot|x|+7x+12=0$$;
е) $$x^2-2x-\frac{15x}{|x|}=0$$.
а) Нужно, чтобы прямая была ниже гиперболы:
$$2x-2<\frac{4}{x}, \qquad x\ne 0.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x>0,$$ то, умножая неравенство на $$x,$$ получаем:
$$2x^2-2x<4$$
$$x^2-x-2<0$$
$$(x-2)(x+1)<0.$$
При $$x>0$$ отсюда:
$$0<x<2.$$
Если $$x<0,$$ то при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:
$$2x^2-2x>4$$
$$x^2-x-2>0$$
$$(x-2)(x+1)>0.$$
При $$x<0$$ получаем:
$$x<-1.$$
Итак,
$$x<-1 \text{ или } 0<x<2.$$
б) Нужно, чтобы прямая была выше гиперболы:
$$\frac12x-2>\frac{6}{x}, \qquad x\ne 0.$$
Если $$x>0,$$ то:
$$x^2-4x-12>0$$
$$(x-6)(x+2)>0.$$
При $$x>0$$ получаем:
$$x>6.$$
Если $$x<0,$$ то:
$$x^2-4x-12<0$$
$$(x-6)(x+2)<0.$$
При $$x<0$$ получаем:
$$-2<x<0.$$
Значит,
$$-2<x<0 \text{ или } x>6.$$
а) $$x^2+5x-\dfrac{6|x|}{x}=0$$
Если $$x>0,$$ то $$|x|=x$$, и уравнение принимает вид:
$$x^2+5x-6=0$$
$$(x+6)(x-1)=0.$$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=-6.$$ Но $$x>0,$$ значит подходит только $$x=1.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$, и получаем:
$$x^2+5x+6=0$$
$$(x+2)(x+3)=0.$$
Отсюда $$x=-2$$ или $$x=-3.$$
Ответ: $$x=-3,\,-2,\,1.$$
б) $$\dfrac{x^3}{|x|}-7x+12=0$$
Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ поэтому:
$$x^2-7x+12=0$$
$$(x-3)(x-4)=0.$$
Отсюда $$x=3$$ или $$x=4.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и:
$$-x^2-7x+12=0$$
$$x^2+7x-12=0.$$
Корни этого уравнения не удовлетворяют условию $$x<0,$$ поэтому не подходят.
Ответ: $$x=3,\,4.$$
в) $$x|x|-2x-15=0$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и:
$$x^2-2x-15=0$$
$$(x-5)(x+3)=0.$$
Отсюда $$x=5$$ или $$x=-3.$$ Подходит только $$x=5.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и:
$$-x^2-2x-15=0$$
$$x^2+2x+15=0.$$
Дискриминант:
$$D=4-60=-56<0,$$
корней нет.
Ответ: $$x=5.$$
г) $$x^2+\dfrac{5x^2}{|x|}-6=0$$
Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и:
$$x^2+5x-6=0$$
$$(x-1)(x+6)=0.$$
Подходит $$x=1.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и:
$$x^2-5x-6=0$$
$$(x-6)(x+1)=0.$$
Подходит $$x=-1.$$
Ответ: $$x=-1,\,1.$$
д) $$x|x|+7x+12=0$$
Если $$x\ge 0,$$ то:
$$x^2+7x+12=0$$
$$(x+3)(x+4)=0.$$
Положительных корней нет.
Если $$x<0,$$ то:
$$-x^2+7x+12=0$$
$$x^2-7x-12=0.$$
Корни этого уравнения не удовлетворяют условию $$x<0,$$ поэтому решений нет.
Ответ: $$\varnothing.$$
е) $$x^2-2x-\dfrac{15x}{|x|}=0$$
Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и:
$$x^2-2x-15=0$$
$$(x-5)(x+3)=0.$$
Подходит $$x=5.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и:
$$x^2-2x+15=0.$$
Дискриминант:
$$D=4-60=-56<0,$$
корней нет.
Ответ: $$x=5.$$
Ответ
а) $$x<-1$$ или $$0<x<2$$; б) $$-2<x<0$$ или $$x>6$$; а) $$x=-3,-2,1$$; б) $$x=3,4$$; в) $$x=5$$; г) $$x=-1,1$$; д) решений нет; е) $$x=5$$.
