Упр.33.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Решите графически систему уравнений:
а) $$\begin{cases} y=\frac{1}{x},\\ y=\sqrt{x}; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} y=-\lvert x-2\rvert+4,\\ y=\frac{8}{x}; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} y=\frac{5}{x},\\ y=(x+1)^2+1; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} y=\sqrt{x+2}+1,\\ y=\frac{6}{x}; \end{cases}$$
д) $$\begin{cases} y=-0{,}5x^2,\\ y=\frac{4}{x}; \end{cases}$$
е) $$\begin{cases} y=\frac{3}{x},\\ y=\lvert x+1\rvert-3. \end{cases}$$
Решите уравнение:
а) $$x^2+(\sqrt{x})^2-2=0$$;
г) $$x^2-3(\sqrt{x})^2-4=0$$;
б) $$x^2+(\sqrt{x-2})^2=4$$;
д) $$x^2+(\sqrt{x+3})^2=15$$;
в) $$x^2-3(\sqrt{x-1})^2-7=0$$;
е) $$x^2-(\sqrt{-3-x})^2-15=0$$.
а) Точки пересечения графиков $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=\sqrt{x}$$ удовлетворяют уравнению
$$\frac{1}{x}=\sqrt{x}, \quad x>0.$$
Возведём в квадрат:
$$\frac{1}{x^2}=x \;\Rightarrow\; x^3=1 \;\Rightarrow\; x=1.$$
Тогда $$y=1$$.
Ответ: $$(1;1).$$
б) Решаем систему
$$\begin{cases} y=-|x-2|+4,\\ y=\frac{8}{x} \end{cases}$$
Приравняем:
$$-|x-2|+4=\frac{8}{x}.$$
По графику получаем точки пересечения:
$$(-4;-2), \quad (2;4), \quad (4;2).$$
Ответ: $$(-4;-2),\ (2;4),\ (4;2).$$
в) Для системы
$$\begin{cases} y=\frac{5}{x},\\ y=(x+1)^2+1 \end{cases}$$
точка пересечения одна:
$$x=1,\quad y=5.$$
Ответ: $$(1;5).$$
г) Для системы
$$\begin{cases} y=\sqrt{x+2}+1,\\ y=\frac{6}{x} \end{cases}$$
графики пересекаются в точке
$$x=2,\quad y=3.$$
Ответ: $$(2;3).$$
д) Для системы
$$\begin{cases} y=-0{,}5x^2,\\ y=\frac{4}{x} \end{cases}$$
точка пересечения:
$$x=-2,\quad y=-2.$$
Ответ: $$(-2;-2).$$
е) Для системы
$$\begin{cases} y=\frac{3}{x},\\ y=|x+1|-3 \end{cases}$$
получаем точки пересечения:
$$(-3;-1),\quad (-1;-3),\quad (3;1).$$
Ответ: $$(-3;-1),\ (-1;-3),\ (3;1).$$
Ответ
- $$(1;1)$$
- $$(-4;-2),\ (2;4),\ (4;2)$$
- $$(1;5)$$
- $$(2;3)$$
- $${(-2;-2)}$$
- $$(-3;-1),\ (-1;-3),\ (3;1)$$
а) $$x^2+(\sqrt{x})^2-2=0,$$ где $$x\ge 0.$$
Получаем:
$$x^2+x-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$
$$x_1=-2$$ не подходит, так как $$x\ge 0.$$
$$x_2=1.$$
б) $$x^2+(\sqrt{x-2})^2=4,$$ где $$x\ge 2.$$
$$x^2+x-2=4 \;\Rightarrow\; x^2+x-6=0.$$
$$D=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$
$$x_1=-3$$ не подходит, $$x_2=2.$$
в) $$x^2-3(\sqrt{x-1})^2-7=0,$$ где $$x\ge 1.$$
$$x^2-3(x-1)-7=0 \;\Rightarrow\; x^2-3x-4=0.$$
$$D=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}.$$
$$x_1=-1$$ не подходит, $$x_2=4.$$
г) $$x^2-3(\sqrt{x})^2-4=0,$$ где $$x\ge 0.$$
$$x^2-3x-4=0.$$
$$D=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}.$$
$$x_1=-1$$ не подходит, $$x_2=4.$$
д) $$x^2+(\sqrt{x+3})^2=15,$$ где $$x\ge -3.$$
$$x^2+x+3=15 \;\Rightarrow\; x^2+x-12=0.$$
$$D=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
$$x_1=-4$$ не подходит, $$x_2=3.$$
е) $$x^2-(\sqrt{-3-x})^2-15=0,$$ где $$x\le -3.$$
$$x^2-(-3-x)-15=0 \;\Rightarrow\; x^2+x-12=0.$$
$$D=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
$$x_2=3$$ не подходит, $$x_1=-4.$$
Ответ
- $$x=1$$
- $$x=2$$
- $$x=4$$
- $$x=4$$
- $$x=3$$
- $$x=-4$$
