Упр.32.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

б) Дана функция у = f(х), где f(х) = -х^2 + 4х — 3. При каком значении аргумента выполняется равенство f(х — 1) = f(х + 1)? Решите уравнение:
а) (x — 5)/(x — 2) = (x + 5)/(x + 2);
б) (x — 3)/(x + 3) + (x + 3)/(x — 3) = 3 1/3;
в) (3x — 4)/(3x + 4) + (3x + 4)/(3x — 4) = 4,5;
г) (x — 4)/(x + 7) = (x + 4)/(x — 7);
д) (3x + 1)/(3x — 1) + (3x — 1)/(3x + 1) = 2,5;
е) (2x — 3)/(2x + 3) + (2x + 3)/(2x — 3) = 1 1/3.

1. а) $$f(x)=2x^2-3x+12$$

   Найдём $$f(2x+3)$$ и приравняем к $$4f(x)$$:

   $$ 2(2x+3)^2-3(2x+3)+12=4(2x^2-3x+12) $$
   $$ 8x^2+24x+18-6x-9+12=8x^2-12x+48 $$
   $$ 8x^2+18x+21=8x^2-12x+48 $$
   $$ 30x=27 $$
   $$ x=\frac{27}{30}=\frac{9}{10} $$

2. б) $$f(x)=-x^2+4x-3$$

   Составим равенство $$f(x-1)=f(x+1)$$:

   $$ -(x-1)^2+4(x-1)-3=-(x+1)^2+4(x+1)-3 $$
   $$ -x^2+2x-1+4x-4-3=-x^2-2x-1+4x+4-3 $$
   $$ -x^2+6x-8=-x^2+2x $$
   $$ 6x=2x+8 $$
   $$ 4x=8 $$
   $$ x=2 $$

3. а) $$\frac{x-5}{x-2}=\frac{x+5}{x+2}, \quad x\ne \pm 2$$

   $$ (x-5)(x+2)=(x+5)(x-2) $$
   $$ x^2-3x-10=x^2+3x-10 $$
   $$ -6x=0 $$
   $$ x=0 $$

4. б) $$\frac{x-3}{x+3}+\frac{x+3}{x-3}=3\frac{1}{3}, \quad x\ne \pm 3$$

   Преобразуем правую часть: $$3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$$.

   $$ \frac{(x-3)^2+(x+3)^2}{(x-3)(x+3)}=\frac{10}{3} $$
   $$ \frac{x^2-6x+9+x^2+6x+9}{x^2-9}=\frac{10}{3} $$
   $$ \frac{2x^2+18}{x^2-9}=\frac{10}{3} $$
   $$ 3(2x^2+18)=10(x^2-9) $$
   $$ 6x^2+54=10x^2-90 $$
   $$ 4x^2=144 $$
   $$ x^2=36 $$
   $$ x=\pm 6 $$

5. в) $$\frac{3x-4}{3x+4}+\frac{3x+4}{3x-4}=4{,}5=\frac{9}{2}, \quad x\ne \pm \frac{4}{3}$$

   $$ \frac{(3x-4)^2+(3x+4)^2}{(3x-4)(3x+4)}=\frac{9}{2} $$
   $$ \frac{9x^2-24x+16+9x^2+24x+16}{9x^2-16}=\frac{9}{2} $$
   $$ \frac{18x^2+32}{9x^2-16}=\frac{9}{2} $$
   $$ 2(18x^2+32)=9(9x^2-16) $$
   $$ 36x^2+64=81x^2-144 $$
   $$ 45x^2=208 $$
   $$ x^2=\frac{208}{45} $$
   $$ x=\pm \sqrt{\frac{208}{45}}=\pm \frac{4}{3}\sqrt{\frac{13}{5}} $$

6. г) $$\frac{x-4}{x+7}=\frac{x+4}{x-7}, \quad x\ne \pm 7$$

   $$ (x-4)(x-7)=(x+4)(x+7) $$
   $$ x^2-11x+28=x^2+11x+28 $$
   $$ -22x=0 $$
   $$ x=0 $$

7. д) $$\frac{3x+1}{3x-1}+\frac{3x-1}{3x+1}=2{,}5=\frac{5}{2}, \quad x\ne \pm \frac{1}{3}$$

   $$ \frac{(3x+1)^2+(3x-1)^2}{(3x-1)(3x+1)}=\frac{5}{2} $$
   $$ \frac{9x^2+6x+1+9x^2-6x+1}{9x^2-1}=\frac{5}{2} $$
   $$ \frac{18x^2+2}{9x^2-1}=\frac{5}{2} $$
   $$ 2(18x^2+2)=5(9x^2-1) $$
   $$ 36x^2+4=45x^2-5 $$
   $$ 9x^2=9 $$
   $$ x^2=1 $$
   $$ x=\pm 1 $$

8. е) $$\frac{2x-3}{2x+3}+\frac{2x+3}{2x-3}=1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}, \quad x\ne \pm \frac{3}{2}$$

   $$ \frac{(2x-3)^2+(2x+3)^2}{(2x-3)(2x+3)}=\frac{4}{3} $$
   $$ \frac{4x^2-12x+9+4x^2+12x+9}{4x^2-9}=\frac{4}{3} $$
   $$ \frac{8x^2+18}{4x^2-9}=\frac{4}{3} $$
   $$ 3(8x^2+18)=4(4x^2-9) $$
   $$ 24x^2+54=16x^2-36 $$
   $$ 8x^2+90=0 $$
   $$ x^2=-\frac{45}{4} $$

   Действительных корней нет.

Ответ

а) $$x=\frac{9}{10}$$; б) $$x=2$$; в) $$x=0$$; г) $$x=\pm 6$$; д) $$x=\pm \frac{4}{3}\sqrt{\frac{13}{5}}$$; е) $$x=0$$; ж) $$x=\pm 1$$; з) корней нет.