Упр.32.7 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)
Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$. Найдите:
а) $$b$$ и $$c$$, если $$a=2$$, $$x_1=3$$, $$x_2=-0{,}5$$;
б) $$a$$ и $$c$$, если $$b=-1$$, $$x_1=3$$, $$x_2=-4$$;
в) $$a$$ и $$b$$, если $$c=4$$, $$x_1=-2$$, $$x_2=-0{,}25$$;
г) $$a$$ и $$c$$, если $$b=6$$, $$x_1=3$$, $$x_2=-4$$.
а) Пусть $$a=2,$$ $$x_1=3,$$ $$x_2=-0{,}5.$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$
Тогда
$$3+(-0{,}5)=2{,}5=-\frac{b}{2},$$
откуда $$b=-5.$$
Далее
$$3\cdot(-0{,}5)=-1{,}5=\frac{c}{2},$$
откуда $$c=-3.$$
б) Пусть $$b=-1,$$ $$x_1=3,$$ $$x_2=-4.$$
Тогда
$$ax^2-x+c=0.$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$
Подставим значения:
$$3+(-4)=-1=-\frac{-1}{a}=\frac{1}{a},$$
значит, $$a=-1.$$
Теперь
$$3\cdot(-4)=-12=\frac{c}{-1},$$
откуда $$c=12.$$
в) Пусть $$c=4,$$ $$x_1=-2,$$ $$x_2=-0{,}25.$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$
Тогда
$$-2+(-0{,}25)=-2{,}25=-\frac{b}{a},$$
а также
$$(-2)\cdot(-0{,}25)=0{,}5=\frac{4}{a}.$$
Из второго равенства получаем $$a=8.$$
Тогда
$$-2{,}25=-\frac{b}{8},$$
откуда $$b=18.$$
г) Пусть $$b=6,$$ $$x_1=3,$$ $$x_2=-4.$$
Тогда
$$ax^2+6x+c=0.$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$
Подставим значения:
$$3+(-4)=-1=-\frac{6}{a},$$
откуда $$a=6.$$
Далее
$$3\cdot(-4)=-12=\frac{c}{6},$$
значит, $$c=-72.$$
Ответ
а) $$b=-5,$$ $$c=-3$$; б) $$a=-1,$$ $$c=12$$; в) $$a=8,$$ $$b=18$$; г) $$a=6,$$ $$c=-72$$.
