Упр.32.55 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

Найдите значение выражения при х = 2015
а) (3/(x-3) + 4/(x^2-5x+6) + 2x/(x-2)) : (2x+1)/3 — (x-12)/(9-3x);
б) (2x/(x+3) + 1/(x-1) — 4/(x^2+2x-3)) · x/(2x+1) + (3-x)/(6+2x).
Старый учебник:
Найдите значение выражения при х = 2007

Подробный ответ

а) Упростим выражение:
$$\left(\frac{3}{x-3}+\frac{4}{x^2-5x+6}+\frac{2x}{x-2}\right):\frac{2x+1}{3}-\frac{x-12}{9-3x}$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
Тогда
$$\frac{3}{x-3}+\frac{4}{(x-2)(x-3)}+\frac{2x}{x-2}=\frac{3(x-2)+4+2x(x-3)}{(x-3)(x-2)}$$
$$=\frac{3x-6+4+2x^2-6x}{(x-3)(x-2)}=\frac{2x^2-3x-2}{(x-3)(x-2)}$$
Разложим числитель:
$$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)$$
Значит,
$$\frac{3}{x-3}+\frac{4}{x^2-5x+6}+\frac{2x}{x-2}=\frac{2x+1}{x-3}$$
Тогда всё выражение равно
$$\frac{2x+1}{x-3}:\frac{2x+1}{3}-\frac{x-12}{9-3x}=\frac{3}{x-3}-\frac{x-12}{9-3x}$$
Так как $$9-3x=3(3-x)=-3(x-3),$$ то
$$-\frac{x-12}{9-3x}=\frac{x-12}{3(x-3)}$$
Следовательно,
$$\frac{3}{x-3}+\frac{x-12}{3(x-3)}=\frac{9+x-12}{3(x-3)}=\frac{x-3}{3(x-3)}=\frac13$$
При $$x=2015$$ значение выражения также равно $$\frac13$$.
б) Упростим выражение:
$$\left(\frac{2x}{x+3}+\frac{1}{x-1}-\frac{4}{x^2+2x-3}\right)\cdot\frac{x}{2x+1}+\frac{3-x}{6+2x}$$
Разложим знаменатель:
$$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$$
Тогда
$$\frac{2x}{x+3}+\frac{1}{x-1}-\frac{4}{(x+3)(x-1)}$$
$$=\frac{2x(x-1)+(x+3)-4}{(x+3)(x-1)}$$
$$=\frac{2x^2-x-1}{(x+3)(x-1)}$$
Разложим числитель:
$$2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$$
Значит,
$$\left(\frac{2x}{x+3}+\frac{1}{x-1}-\frac{4}{x^2+2x-3}\right)\cdot\frac{x}{2x+1}=\frac{2x+1}{x+3}\cdot\frac{x}{2x+1}=\frac{x}{x+3}$$
Кроме того,
$$\frac{3-x}{6+2x}=\frac{3-x}{2(x+3)}=-\frac{x-3}{2(x+3)}$$
Тогда
$$\frac{x}{x+3}+\frac{3-x}{2(x+3)}=\frac{2x+3-x}{2(x+3)}=\frac{x+3}{2(x+3)}=\frac12$$
При $$x=2015$$ значение выражения равно $$\frac12$$.