Упр.32.54 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а)

$$\frac{x-1}{x^2-2x-3}+\frac{x+3}{x^2-2x-8}=\frac{4x-1}{2x^2-6x-8}$$

Разложим знаменатели на множители:

$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1),\quad x^2-2x-8=(x-4)(x+2),$$
$$2x^2-6x-8=2(x-4)(x+1).$$

ОДЗ:

$$x\ne 3,\quad x\ne -1,\quad x\ne 4,\quad x\ne -2.$$

Умножим уравнение на общий знаменатель $$2(x-3)(x+1)(x-4)(x+2)$$:

$$2(x-1)(x-4)(x+2)+2(x+3)(x+1)(x-3)-(4x-1)(x+2)(x-3)=0.$$

После раскрытия скобок получаем:

$$x^2-7x-8=0.$$

$$D=49+32=81,\quad x=\frac{7\pm 9}{2}.$$

$$x_1=-1,\quad x_2=8.$$

Так как $$x=-1$$ не входит в ОДЗ, остаётся:

$$x=8.$$

б)

$$\frac{2}{2x^2-x-1}+\frac{x}{x^2-x-2}=\frac{3x+1}{3x^2-3}$$

Разложим знаменатели:

$$2x^2-x-1=(2x+1)(x-1),$$
$$x^2-x-2=(x-2)(x+1),$$
$$3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

ОДЗ:

$$x\ne -\frac12,\quad x\ne 1,\quad x\ne 2,\quad x\ne -1.$$

Умножим уравнение на общий знаменатель $$3(2x+1)(x-1)(x-2)(x+1)$$:

$$6(x-2)(x+1)+3x(2x+1)(x-1)-(3x+1)(2x+1)(x-2)=0.$$

После преобразований получаем:

$$10x^2-10=0,$$
$$x^2=1,$$
$$x=\pm 1.$$

Оба корня не подходят по ОДЗ, значит решений нет.

Ответ

а) $$x=8$$;
б) корней нет.