Упр.32.53 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. а) Приведём уравнение к общему знаменателю:

   $$\frac{2x+1}{6x-4}+\frac{13}{6x^2+5x-6}=\frac{2x+1}{4x+6}$$

   $$6x^2+5x-6=(3x-2)(2x+3), \quad 6x-4=2(3x-2), \quad 4x+6=2(2x+3).$$

   Тогда

   $$\frac{2x+1}{2(3x-2)}+\frac{13}{(3x-2)(2x+3)}=\frac{2x+1}{2(2x+3)}.$$

   ОДЗ:

   $$3x-2\ne 0,\quad 2x+3\ne 0,$$

   $$x\ne \frac23,\quad x\ne -\frac32.$$

   Умножим уравнение на $$2(3x-2)(2x+3)$$:

   $$(2x+1)(2x+3)+26=(2x+1)(3x-2).$$

   Раскроем скобки:

   $$4x^2+8x+3+26=6x^2-x-2,$$

   $$2x^2-9x-31=0.$$

   $$D=(-9)^2-4\cdot 2\cdot(-31)=81+248=329.$$

   $$x_{1,2}=\frac{9\pm \sqrt{329}}{4}.$$

2. б) Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{8x-1}{10x^2-19x+6}+\frac{x-1}{10x-4}=\frac{2x+1}{4x-6}$$

   $$10x^2-19x+6=(5x-2)(2x-3), \quad 10x-4=2(5x-2), \quad 4x-6=2(2x-3).$$

   Тогда

   $$\frac{8x-1}{(5x-2)(2x-3)}+\frac{x-1}{2(5x-2)}=\frac{2x+1}{2(2x-3)}.$$

   ОДЗ:

   $$5x-2\ne 0,\quad 2x-3\ne 0,$$

   $$x\ne \frac25,\quad x\ne \frac32.$$

   Умножим уравнение на $$2(5x-2)(2x-3)$$:

   $$2(8x-1)+(x-1)(2x-3)=(2x+1)(5x-2).$$

   Раскроем скобки:

   $$16x-2+2x^2-5x+3=10x^2+x-2,$$

   $$8x^2-10x-3=0.$$

   $$D=(-10)^2-4\cdot 8\cdot(-3)=100+96=196.$$

   $$x_{1,2}=\frac{10\pm 14}{16}.$$

   Получаем:

   $$x_1=-\frac14,\quad x_2=\frac32.$$

   Значение $$x=\frac32$$ не подходит, так как не входит в ОДЗ.

Ответ

а) $$x=\frac{9\pm \sqrt{329}}{4}.$$

б) $$x=-\frac14.$$