Упр.32.52 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а)

$$\frac{10x+5}{21x-14}-\frac{x-1}{2x+3}=\frac{21}{6x^2+5x-6}$$
Разложим знаменатель на множители:
$$6x^2+5x-6=(3x-2)(2x+3).$$
Тогда
$$\frac{10x+5}{7(3x-2)}-\frac{x-1}{2x+3}=\frac{21}{(3x-2)(2x+3)}.$$
ОДЗ:
$$3x-2\ne 0,\quad 2x+3\ne 0,$$
то есть
$$x\ne \frac23,\quad x\ne -\frac32.$$
Умножим уравнение на $$7(3x-2)(2x+3)$$:
$$(10x+5)(2x+3)-7(x-1)(3x-2)=147.$$
Раскроем скобки:
$$20x^2+40x+15-7(3x^2-5x+2)=147,$$
$$20x^2+40x+15-21x^2+35x-14=147,$$
$$-x^2+75x-146=0.$$
Умножим на $$-1$$:
$$x^2-75x+146=0.$$
Найдём корни:
$$D=75^2-4\cdot 146=5625-584=5041=71^2,$$
$$x_{1,2}=\frac{75\pm 71}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=2,\quad x_2=73.$$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

б)

$$\frac{4}{6x^2-13x+6}+\frac{x-2}{6x-4}=\frac{2x+1}{10x-15}$$
Разложим знаменатели:
$$6x^2-13x+6=(3x-2)(2x-3),\quad 6x-4=2(3x-2),\quad 10x-15=5(2x-3).$$
Тогда
$$\frac{4}{(3x-2)(2x-3)}+\frac{x-2}{2(3x-2)}=\frac{2x+1}{5(2x-3)}.$$
ОДЗ:
$$3x-2\ne 0,\quad 2x-3\ne 0,$$
то есть
$$x\ne \frac23,\quad x\ne \frac32.$$
Умножим уравнение на $$10(3x-2)(2x-3)$$:
$$40+5(x-2)(2x-3)=2(2x+1)(3x-2).$$
Раскроем скобки:
$$40+5(2x^2-7x+6)=2(6x^2-x-2),$$
$$40+10x^2-35x+30=12x^2-2x-4.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$2x^2+33x-74=0.$$
Найдём корни:
$$D=33^2-4\cdot 2\cdot(-74)=1089+592=1681=41^2,$$
$$x_{1,2}=\frac{-33\pm 41}{4}.$$
Получаем:
$$x_1=-\frac{74}{4}=-18{,}5,\quad x_2=\frac{8}{4}=2.$$
Оба значения подходят по ОДЗ.