Упр.32.51 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

29.51

Подробный ответ

а)

$$ \frac{x^2}{x^2-7x+10}+\frac{16}{3x^2-12}=1 $$
Разложим знаменатели на множители:
$$ x^2-7x+10=(x-2)(x-5), \qquad 3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2). $$
Тогда
$$ \frac{x^2}{(x-2)(x-5)}+\frac{16}{3(x-2)(x+2)}=1. $$
ОДЗ: $$x\neq 2,\; x\neq 5,\; x\neq -2.$$

Умножим уравнение на $$3(x-2)(x-5)(x+2)$$:
$$ 3x^2(x+2)+16(x-5)=3(x-2)(x-5)(x+2). $$
Раскроем скобки:
$$ 3x^3+6x^2+16x-80=3(x^3-5x^2-4x+20). $$
$$ 3x^3+6x^2+16x-80=3x^3-15x^2-12x+60. $$
$$ 21x^2+28x-140=0. $$
Разделим на $$7$$:
$$ 3x^2+4x-20=0. $$
$$ D=4^2-4\cdot 3\cdot(-20)=16+240=256. $$
$$ x=\frac{-4\pm 16}{6}. $$
Получаем:
$$ x_1=2,\qquad x_2=-\frac{10}{3}. $$
Значение $$x=2$$ не подходит по ОДЗ, значит остаётся
$$ x=-\frac{10}{3}. $$

б)

$$ \frac{2x^2}{2x^2+x-3}-\frac{8}{2x^2-3x-9}=1 $$
Разложим знаменатели:
$$ 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1), $$
$$ 2x^2-3x-9=(2x+3)(x-3). $$
ОДЗ: $$x\neq 1,\; x\neq 3,\; x\neq -\frac{3}{2}.$$

Умножим уравнение на $$ (2x+3)(x-1)(x-3) $$:
$$ 2x^2(x-3)-8(x-1)=(2x+3)(x-1)(x-3). $$
Раскроем скобки:
$$ 2x^3-6x^2-8x+8=(2x+3)(x^2-4x+3). $$
$$ 2x^3-6x^2-8x+8=2x^3-5x^2-6x+9. $$
$$ -x^2-2x-1=0. $$
$$ x^2+2x+1=0 $$
$$ (x+1)^2=0. $$
$$ x=-1. $$
Проверка ОДЗ: $$-1$$ подходит.