Упр.32.51 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

29.51. Решите уравнение:

Подробный ответ

а)

$$\frac{x^2}{x^2-7x+10}+\frac{16}{3x^2-12}=1$$
Разложим знаменатели на множители:
$$x^2-7x+10=(x-2)(x-5), \qquad 3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2).$$
Тогда
$$\frac{x^2}{(x-2)(x-5)}+\frac{16}{3(x-2)(x+2)}=1.$$
ОДЗ: $$x\neq 2,\; x\neq 5,\; x\neq -2.$$

Умножим уравнение на $$3(x-2)(x-5)(x+2)$$:
$$3x^2(x+2)+16(x-5)=3(x-2)(x-5)(x+2).$$
Раскроем скобки:
$$3x^3+6x^2+16x-80=3(x^3-5x^2-4x+20).$$
$$3x^3+6x^2+16x-80=3x^3-15x^2-12x+60.$$
$$21x^2+28x-140=0.$$
Разделим на $$7$$:
$$3x^2+4x-20=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-20)=16+240=256.$$
$$x=\frac{-4\pm 16}{6}.$$
Получаем:
$$x_1=2,\qquad x_2=-\frac{10}{3}.$$
Значение $$x=2$$ не подходит по ОДЗ, значит остаётся
$$x=-\frac{10}{3}.$$

б)

$$\frac{2x^2}{2x^2+x-3}-\frac{8}{2x^2-3x-9}=1$$
Разложим знаменатели:
$$2x^2+x-3=(2x+3)(x-1),$$
$$2x^2-3x-9=(2x+3)(x-3).$$
ОДЗ: $$x\neq 1,\; x\neq 3,\; x\neq -\frac{3}{2}.$$

Умножим уравнение на $$(2x+3)(x-1)(x-3)$$:
$$2x^2(x-3)-8(x-1)=(2x+3)(x-1)(x-3).$$
Раскроем скобки:
$$2x^3-6x^2-8x+8=(2x+3)(x^2-4x+3).$$
$$2x^3-6x^2-8x+8=2x^3-5x^2-6x+9.$$
$$-x^2-2x-1=0.$$
$$x^2+2x+1=0$$
$$(x+1)^2=0.$$
$$x=-1.$$
Проверка ОДЗ: $$-1$$ подходит.