Упр.32.50 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

а) Преобразуем левую часть:

$$\frac{2x}{x+2}+\frac{4}{x^2+5x+6}-\frac{3}{x+3} = \frac{2x}{x+2}+\frac{4}{(x+2)(x+3)}-\frac{3}{x+3}$$

Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2x(x+3)+4-3(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \frac{2x^2+6x+4-3x-6}{(x+2)(x+3)} = \frac{2x^2+3x-2}{(x+2)(x+3)}.$$

Числитель разложим на множители:
$$2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2).$$
Тогда
$$\frac{2x^2+3x-2}{(x+2)(x+3)}=\frac{2x-1}{x+3}.$$

Следовательно,
$$\left(\frac{2x}{x+2}+\frac{4}{x^2+5x+6}-\frac{3}{x+3}\right):\frac{2x-1}{3}+\frac{x}{x+3} = \frac{2x-1}{x+3}\cdot\frac{3}{2x-1}+\frac{x}{x+3}.$$

Сокращаем:
$$\frac{3}{x+3}+\frac{x}{x+3}=\frac{x+3}{x+3}=1.$$

ОДЗ: $$x\neq -2,\,-3,\;\;2x-1\neq 0.$$

б) Аналогично:

$$\frac{2x}{x-3}+\frac{1}{x+1}+\frac{4}{x^2-2x-3} = \frac{2x}{x-3}+\frac{1}{x+1}+\frac{4}{(x+1)(x-3)}.$$

Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2x(x+1)+(x-3)+4}{(x+1)(x-3)} = \frac{2x^2+2x+x+1}{(x+1)(x-3)} = \frac{2x^2+3x+1}{(x+1)(x-3)}.$$

Разложим числитель:
$$2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1).$$
Тогда
$$\frac{2x^2+3x+1}{(x+1)(x-3)}=\frac{2x+1}{x-3}.$$

Теперь левая часть равна
$$\frac{2x+1}{x-3}\cdot\frac{x}{2x+1}+\frac{3}{3-x}.$$

Так как $$\frac{3}{3-x}=-\frac{3}{x-3},$$ получаем:
$$\frac{x}{x-3}-\frac{3}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}=1.$$

ОДЗ: $$x\neq -1,\;x\neq 3,\;2x+1\neq 0.$$

Ответ

а) $$1$$;
б) $$1$$.