Упр.32.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) у = 3х^2 + 6х — 5; г) у = 2х^2 — 4х — 3;
б) у = -3х^2 — 6х — 1; д) у = -2х^2 + 6х + 5;
в) y = 1/2 x^2 — 3/4 x + 1 1/2; е) y = -1/3 x^2 + 1 1/2 x — 3/4. Решите уравнение:
а) x^2 + 6x = 0; г) x^2 — 12x = 0;
б) -x^2 + 11x = 0; д) -x^2 — 14x = 0;
в) 2x^2 — 12x = 0; е) 3x^2 + 24x = 0.

1. Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$ абсцисса вершины находится по формуле $$x_0=-\frac{b}{2a}$$, а ордината — подстановкой найденного значения в уравнение.

   а) $$y=3x^2+6x-5$$

   $$x_0=-\frac{6}{2\cdot 3}=-1$$
   $$y_0=3\cdot(-1)^2+6\cdot(-1)-5=3-6-5=-8$$
   Вершина: $$(-1;\,-8)$$.

   б) $$y=-3x^2-6x-1$$

   $$x_0=-\frac{-6}{2\cdot(-3)}=-1$$
   $$y_0=-3\cdot(-1)^2-6\cdot(-1)-1=-3+6-1=2$$
   Вершина: $$(-1;\,2)$$.

   в) $$y=\frac12x^2-\frac34x+1\frac12$$

   $$x_0=-\frac{-\frac34}{2\cdot\frac12}=\frac34$$
   $$y_0=\frac12\cdot\left(\frac34\right)^2-\frac34\cdot\frac34+\frac32=\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{16}-\frac{9}{16}+\frac32=\frac{39}{32}$$
   Вершина: $$\left(\frac34;\,\frac{39}{32}\right)$$.

   г) $$y=2x^2-4x-3$$

   $$x_0=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1$$
   $$y_0=2\cdot 1^2-4\cdot 1-3=2-4-3=-5$$
   Вершина: $$\left(1;\,-5\right)$$.

   д) $$y=-2x^2+6x+5$$

   $$x_0=-\frac{6}{2\cdot(-2)}=\frac32$$
   $$y_0=-2\cdot\left(\frac32\right)^2+6\cdot\frac32+5=-2\cdot\frac94+9+5=\frac{19}{2}$$
   Вершина: $$\left(\frac32;\,\frac{19}{2}\right)$$.

   е) $$y=-\frac13x^2+\frac32x-\frac34$$

   $$x_0=-\frac{\frac32}{2\cdot\left(-\frac13\right)}=\frac94$$
   $$y_0=-\frac13\cdot\left(\frac94\right)^2+\frac32\cdot\frac94-\frac34=\frac{15}{16}$$
   Вершина: $$\left(\frac94;\,\frac{15}{16}\right)$$.

2. Во всех уравнениях вынесем общий множитель за скобки.

   а) $$x^2+6x=0$$

   $$x(x+6)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-6$$

   б) $$-x^2+11x=0$$

   $$-x(x-11)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=11$$

   в) $$2x^2-12x=0$$

   $$2x(x-6)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=6$$

   г) $$x^2-12x=0$$

   $$x(x-12)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=12$$

   д) $$-x^2-14x=0$$

   $$-x(x+14)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-14$$

   е) $$3x^2+24x=0$$

   $$3x(x+8)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=-8$$

Ответ

1) а) $$(-1;\,-8)$$; б) $$(-1;\,2)$$; в) $$\left(\frac34;\,\frac{39}{32}\right)$$; г) $$\left(1;\,-5\right)$$; д) $$\left(\frac32;\,\frac{19}{2}\right)$$; е) $$\left(\frac94;\,\frac{15}{16}\right)$$.
2) а) $$x=-6,\ 0$$; б) $$x=0,\ 11$$; в) $$x=0,\ 6$$; г) $$x=0,\ 12$$; д) $$x=-14,\ 0$$; е) $$x=-8,\ 0$$.