Упр.32.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Найдите координаты вершины параболы:
а) $$y=3x^2+6x-5$$;
г) $$y=2x^2-4x-3$$;
б) $$y=-3x^2-6x-1$$;
д) $$y=-2x^2+6x+5$$;
в) $$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x+1\frac{1}{2}$$;
е) $$y=-\frac{1}{3}x^2+1\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}$$. - Решите уравнение:
а) $$x^2+6x=0$$;
г) $$x^2-12x=0$$;
б) $$-x^2+11x=0$$;
д) $$-x^2-14x=0$$;
в) $$2x^2-12x=0$$;
е) $$3x^2+24x=0$$.
Для параболы $$y=ax^2+bx+c$$ абсцисса вершины находится по формуле $$x_0=-\frac{b}{2a}$$, а ордината — подстановкой найденного значения в уравнение.
а) $$y=3x^2+6x-5$$
$$x_0=-\frac{6}{2\cdot 3}=-1$$
$$y_0=3\cdot(-1)^2+6\cdot(-1)-5=3-6-5=-8$$
Вершина: $$(-1;\,-8)$$.б) $$y=-3x^2-6x-1$$
$$x_0=-\frac{-6}{2\cdot(-3)}=-1$$
$$y_0=-3\cdot(-1)^2-6\cdot(-1)-1=-3+6-1=2$$
Вершина: $$(-1;\,2)$$.в) $$y=\frac12x^2-\frac34x+1\frac12$$
$$x_0=-\frac{-\frac34}{2\cdot\frac12}=\frac34$$
$$y_0=\frac12\cdot\left(\frac34\right)^2-\frac34\cdot\frac34+\frac32=\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{16}-\frac{9}{16}+\frac32=\frac{39}{32}$$
Вершина: $$\left(\frac34;\,\frac{39}{32}\right)$$.г) $$y=2x^2-4x-3$$
$$x_0=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1$$
$$y_0=2\cdot 1^2-4\cdot 1-3=2-4-3=-5$$
Вершина: $$\left(1;\,-5\right)$$.д) $$y=-2x^2+6x+5$$
$$x_0=-\frac{6}{2\cdot(-2)}=\frac32$$
$$y_0=-2\cdot\left(\frac32\right)^2+6\cdot\frac32+5=-2\cdot\frac94+9+5=\frac{19}{2}$$
Вершина: $$\left(\frac32;\,\frac{19}{2}\right)$$.е) $$y=-\frac13x^2+\frac32x-\frac34$$
$$x_0=-\frac{\frac32}{2\cdot\left(-\frac13\right)}=\frac94$$
$$y_0=-\frac13\cdot\left(\frac94\right)^2+\frac32\cdot\frac94-\frac34=\frac{15}{16}$$
Вершина: $$\left(\frac94;\,\frac{15}{16}\right)$$.Во всех уравнениях вынесем общий множитель за скобки.
а) $$x^2+6x=0$$
$$x(x+6)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-6$$б) $$-x^2+11x=0$$
$$-x(x-11)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=11$$в) $$2x^2-12x=0$$
$$2x(x-6)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=6$$г) $$x^2-12x=0$$
$$x(x-12)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=12$$д) $$-x^2-14x=0$$
$$-x(x+14)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-14$$е) $$3x^2+24x=0$$
$$3x(x+8)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-8$$
Ответ
1) а) $$(-1;\,-8)$$; б) $$(-1;\,2)$$; в) $$\left(\frac34;\,\frac{39}{32}\right)$$; г) $$\left(1;\,-5\right)$$; д) $$\left(\frac32;\,\frac{19}{2}\right)$$; е) $$\left(\frac94;\,\frac{15}{16}\right)$$.
2) а) $$x=-6,\ 0$$; б) $$x=0,\ 11$$; в) $$x=0,\ 6$$; г) $$x=0,\ 12$$; д) $$x=-14,\ 0$$; е) $$x=-8,\ 0$$.
