Упр.32.48 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

29.48

Подробный ответ

а) Разложим знаменатели на множители:

$$x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3),$$
$$2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3),$$
$$9-x^2=-(x^2-9)=-(x-3)(x+3).$$

Тогда

$$ \frac{x+12}{x^3-9x}:\left(\frac{x-3}{2x^2+5x-3}-\frac{9}{9-x^2}\right) = \frac{x+12}{x(x-3)(x+3)}:\left(\frac{x-3}{(2x-1)(x+3)}+\frac{9}{(x-3)(x+3)}\right). $$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{x-3}{(2x-1)(x+3)}+\frac{9}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x-3)^2+9(2x-1)}{(2x-1)(x-3)(x+3)}. $$

$$ (x-3)^2+9(2x-1)=x^2-6x+9+18x-9=x^2+12x=x(x+12). $$

Значит,

$$ \frac{x+12}{x(x-3)(x+3)}:\frac{x(x+12)}{(2x-1)(x-3)(x+3)} = \frac{x+12}{x(x-3)(x+3)}\cdot\frac{(2x-1)(x-3)(x+3)}{x(x+12)}. $$

Сокращаем:

$$ \frac{2x-1}{x^2}. $$

б) Разложим знаменатели:

$$ a^2-4=(a-2)(a+2), $$
$$ 3a^2+5a-2=(3a-1)(a+2), $$
$$ 12a+1 \text{ — без разложения}. $$

Тогда

$$ \left(\frac{3a-1}{a^2-4}-\frac{9a}{3a^2+5a-2}\right)\cdot\frac{15a^3-60a}{12a+1} = \left(\frac{3a-1}{(a-2)(a+2)}-\frac{9a}{(3a-1)(a+2)}\right)\cdot\frac{15a(a^2-4)}{12a+1}. $$

Приведём первую скобку к общему знаменателю:

$$ \frac{(3a-1)^2-9a(a-2)}{(a-2)(a+2)(3a-1)} = \frac{9a^2-6a+1-9a^2+18a}{(a-2)(a+2)(3a-1)} = \frac{12a+1}{(a-2)(a+2)(3a-1)}. $$

Тогда

$$ \frac{12a+1}{(a-2)(a+2)(3a-1)}\cdot\frac{15a(a^2-4)}{12a+1} = \frac{15a(a^2-4)}{(a-2)(a+2)(3a-1)}. $$

Так как $$a^2-4=(a-2)(a+2),$$ получаем

$$ \frac{15a}{3a-1}. $$