Упр.32.47 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Один из корней квадратного уравнения $$2x^2-14x+p=0$$ больше другого в 2,5 раза. Найдите значение параметра $$p$$ и корни уравнения.

Пусть корни уравнения $$2x^2-14x+p=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, причём больший корень в $$2{,}5$$ раза больше меньшего. Тогда можно записать:

$$x_1=2{,}5x_2.$$

По теореме Виета для уравнения $$2x^2-14x+p=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=7,$$

$$x_1x_2=\frac{p}{2}.$$

Подставим $$x_1=2{,}5x_2$$ в сумму корней:

$$2{,}5x_2+x_2=7,$$

$$3{,}5x_2=7,$$

$$x_2=2.$$

Тогда

$$x_1=2{,}5\cdot 2=5.$$

Теперь найдём параметр $$p$$ по произведению корней:

$$x_1x_2=\frac{p}{2},$$

$$5\cdot 2=\frac{p}{2},$$

$$10=\frac{p}{2},$$

$$p=20.$$

Проверка: $$5+2=7$$, условие отношения корней выполняется.

Ответ

$$p=20,\quad x_1=5,\quad x_2=2.$$