Упр.32.45 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Дано уравнение $$x^2 + (3р — 5)x + (3р^2 — 11р — 6) = 0$$. Известно, что сумма квадратов его корней равна $$65$$. Найдите значение параметра $$р$$ и корни уравнения.

Пусть корни уравнения $$x^2+(3p-5)x+(3p^2-11p-6)=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-(3p-5), \qquad x_1x_2=3p^2-11p-6.$$

По условию

$$x_1^2+x_2^2=65.$$

Используем формулу

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$(-(3p-5))^2-2(3p^2-11p-6)=65$$

$$9p^2-30p+25-6p^2+22p+12=65$$

$$3p^2-8p+37=65$$

$$3p^2-8p-28=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot(-28)=64+336=400$$

$$p=\frac{8\pm 20}{6}$$

Отсюда

$$p_1=-2, \qquad p_2=\frac{14}{3}.$$

1) При $$p=-2$$ получаем

$$x^2+(3\cdot(-2)-5)x+(3\cdot(-2)^2-11\cdot(-2)-6)=0$$

$$x^2-11x+28=0$$

$$D=121-112=9$$

$$x=\frac{11\pm 3}{2}$$

$$x_1=4,\qquad x_2=7.$$

2) При $$p=\frac{14}{3}$$ получаем

$$x^2+\left(3\cdot\frac{14}{3}-5\right)x+\left(3\cdot\left(\frac{14}{3}\right)^2-11\cdot\frac{14}{3}-6\right)=0$$

$$x^2+9x+8=0$$

$$D=81-32=49$$

$$x=\frac{-9\pm 7}{2}$$

$$x_1=-8,\qquad x_2=-1.$$

Ответ

$$p=-2,\; x=4,\; 7;\qquad p=\frac{14}{3},\; x=-8,\; -1.$$