Упр.32.44 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: •29.44. При некотором значении параметра р корни квадратного уравнения 2рх2 + 5x +р+1 = 0 являются взаимно обратными числами. Найдите эти корни.

Пусть корни уравнения $$2px^2+5x+p+1=0$$ взаимно обратные. Тогда их произведение равно $$1$$.

По теореме Виета для квадратного уравнения имеем:

$$x_1x_2=\frac{p+1}{2p}=1.$$

Отсюда

$$p+1=2p,$$

$$p=1.$$

Подставим найденное значение параметра в уравнение:

$$2x^2+5x+2=0.$$

Найдём корни:

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9.$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm 3}{4}.$$

Тогда

$$x_1=\frac{-5+3}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{-5-3}{4}=-2.$$

Проверка: $$\left(-\frac12\right)\cdot(-2)=1,$$ значит, корни действительно взаимно обратные.

Ответ

$$-\frac12,\ -2$$