Упр.32.42 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 29.42. Дано уравнение x2 — (р + 1)x + (2р2 -9р — 12) = 0. Известно, что произведение его корней равно -21. Найдите значения параметра р.

По теореме Виета для уравнения

$$x^2-(p+1)x+(2p^2-9p-12)=0$$

произведение корней равно свободному члену:

$$x_1x_2=2p^2-9p-12.$$

По условию задачи

$$2p^2-9p-12=-21.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2p^2-9p+9=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=(-9)^2-4\cdot 2\cdot 9=81-72=9.$$

$$p=\frac{9\pm 3}{4}.$$

Тогда

$$p_1=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, \qquad p_2=\frac{12}{4}=3.$$

Проверим, что при этих значениях исходное уравнение имеет корни.

При $$p=\frac{3}{2}$$:

$$x^2-\left(\frac{3}{2}+1\right)x+\left(2\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2-9\cdot \frac{3}{2}-12\right)=0,$$

$$x^2-\frac{5}{2}x-21=0,$$

$$D=\left(\frac{5}{2}\right)^2+84>0.$$

При $$p=3$$:

$$x^2-(3+1)x+(2\cdot 3^2-9\cdot 3-12)=0,$$

$$x^2-4x-21=0,$$

$$D=16+84>0.$$

Оба значения подходят.

Ответ

$$p=\frac{3}{2},\ 3.$$