Упр.32.29 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Докажите, что уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет корень, равный $$-1$$, если $$a-b+c=0$$.

Разделим уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ на $$a$$ (при $$a\neq 0$$):

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$

По теореме Виета для его корней $$x_1$$ и $$x_2$$ имеем:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$

Из условия $$a-b+c=0$$ получаем после деления на $$a$$:

$$1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}=0.$$

Подставим выражения по Виету:

$$1+(x_1+x_2)+x_1x_2=0.$$

Тогда

$$x_1x_2+x_1=-1-x_2,$$

$$x_1(x_2+1)=-(x_2+1).$$

Если $$x_2\neq -1$$, то

$$x_1=-1.$$

Значит, уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет корень $$-1$$.

Ответ

$$-1$$