Упр.32.32 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) x1 = (1+корень 5)/2, x2=(1-корень 5)/2;
в) x1 = 2 + корень 5, x2= 2- корень 5;
г) x1 = (-4-корень 3)/7, x2=(-4+корень 3)/7.

Используем теорему Виета: если корни квадратного уравнения равны $$x_1$$ и $$x_2$$, то уравнение имеет вид

$$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0.$$

1. $$x_1=3+\sqrt2,\quad x_2=3-\sqrt2$$

   $$x_1+x_2=3+\sqrt2+3-\sqrt2=6,$$

   $$x_1x_2=(3+\sqrt2)(3-\sqrt2)=9-2=7.$$

   Тогда уравнение:

   $$x^2-6x+7=0.$$

2. $$x_1=\frac{1+\sqrt5}{2},\quad x_2=\frac{1-\sqrt5}{2}$$

   $$x_1+x_2=\frac{1+\sqrt5}{2}+\frac{1-\sqrt5}{2}=1,$$

   $$x_1x_2=\frac{(1+\sqrt5)(1-\sqrt5)}{4}=\frac{1-5}{4}=-1.$$

   Тогда уравнение:

   $$x^2-x-1=0.$$

3. $$x_1=2+\sqrt5,\quad x_2=2-\sqrt5$$

   $$x_1+x_2=2+\sqrt5+2-\sqrt5=4,$$

   $$x_1x_2=(2+\sqrt5)(2-\sqrt5)=4-5=-1.$$

   Тогда уравнение:

   $$x^2-4x-1=0.$$

4. $$x_1=\frac{-4-\sqrt3}{7},\quad x_2=\frac{-4+\sqrt3}{7}$$

   $$x_1+x_2=\frac{-4-\sqrt3}{7}+\frac{-4+\sqrt3}{7}=-\frac87,$$

   $$x_1x_2=\frac{(-4-\sqrt3)(-4+\sqrt3)}{49}=\frac{16-3}{49}=\frac{13}{49}.$$

   Тогда уравнение:

   $$x^2+\frac87x+\frac{13}{49}=0.$$

   Умножим на $$49$$:

   $$49x^2+56x+13=0.$$

Ответ

а) $$x^2-6x+7=0$$

б) $$x^2-x-1=0$$

в) $$x^2-4x-1=0$$

г) $$49x^2+56x+13=0$$