Упр.32.27 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 29.27. Докажите, что уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет корень, равный 1, если а + b + с = 0.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$ax^2+bx+c=0$$, где $$a\ne 0$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$

Из условия $$a+b+c=0$$ получаем, разделив на $$a$$:

$$1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}=0.$$

Подставим выражения по Виету:

$$1-(x_1+x_2)+x_1x_2=0.$$

Преобразуем:

$$1+x_1x_2=x_1+x_2$$

$$x_1x_2-x_1=x_2-1$$

$$x_1(x_2-1)=x_2-1.$$

Если $$x_2\ne 1$$, то можно разделить на $$x_2-1$$ и получить $$x_1=1$$.

Если $$x_2=1$$, то корень $$1$$ уже найден.

Значит, уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ действительно имеет корень, равный $$1$$.

Ответ

$$1$$ — корень уравнения.