Упр.32.24 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}\right):(x-y)+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}$$.

Преобразуем выражение:
$$\left(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}\right):(x-y)+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}.$$

Сначала упростим дробь в скобках:
$$\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy} = \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$$
Так как $$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y},$$ получаем
$$\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$$
Сгруппируем:
$$\frac{\sqrt{x}(x-y)-\sqrt{y}(x-y)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$$

Теперь делим на $$x-y$$:
$$\left(\frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):(x-y) = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$$

Тогда всё выражение равно
$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}.$$
Приведём к общему знаменателю. Заметим, что
$$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}).$$
Тогда
$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{x-y}.$$
Следовательно,
$$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{x-y}+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+2\sqrt{xy}}{x-y}.$$
Раскроем квадрат:
$$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=x-2\sqrt{xy}+y.$$
Тогда
$$\frac{x-2\sqrt{xy}+y+2\sqrt{xy}}{x-y} = \frac{x+y}{x-y}.$$

Ответ

$$\frac{x+y}{x-y}$$