Упр.32.24 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

((xvx + yvy)/(vx + vy) — v(xy)) : (x — y) + (2v(xy))/(x — y).

Подробный ответ

Преобразуем выражение:
$$ \left(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}\right):(x-y)+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}. $$

Сначала упростим дробь в скобках:
$$ \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy} = \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}. $$
Так как $$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y},$$ получаем
$$ \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}. $$
Сгруппируем:
$$ \frac{\sqrt{x}(x-y)-\sqrt{y}(x-y)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}. $$

Теперь делим на $$x-y$$:
$$ \left(\frac{(x-y)(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):(x-y) = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}. $$

Тогда всё выражение равно
$$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y}. $$
Приведём к общему знаменателю. Заметим, что
$$ x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}). $$
Тогда
$$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{x-y}. $$
Следовательно,
$$ \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{x-y}+\frac{2\sqrt{xy}}{x-y} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+2\sqrt{xy}}{x-y}. $$
Раскроем квадрат:
$$ (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=x-2\sqrt{xy}+y. $$
Тогда
$$ \frac{x-2\sqrt{xy}+y+2\sqrt{xy}}{x-y} = \frac{x+y}{x-y}. $$