Упр.32.23 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) x^2 — 3х + 1 = 0; в) 2х^2 — 5х + 2 = 0;
б) -х^2 + 6x — 9 = 0; г) -2х^2 + 3х — 2 = 0.

Подробный ответ

Рассмотрим каждое квадратное уравнение и определим число его корней по положению вершины параболы относительно оси $$Ox$$.

$$x^2-3x+1=0$$
$$y=x^2-3x+1$$ — парабола, ветви направлены вверх.
Координата вершины по оси $$x$$:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}.$$
Найдём ординату вершины:
$$y_0=f\!\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^2-3\cdot\frac{3}{2}+1=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+1=-\frac{5}{4}.$$
Вершина ниже оси $$Ox$$, а ветви направлены вверх, значит, график пересекает ось $$Ox$$ в двух точках.
Следовательно, уравнение имеет два корня.
$$-x^2+6x-9=0$$
$$y=-x^2+6x-9$$ — парабола, ветви направлены вниз.
Координата вершины по оси $$x$$:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3.$$
Найдём ординату вершины:
$$y_0=f(3)=-3^2+6\cdot 3-9=-9+18-9=0.$$
Вершина лежит на оси $$Ox$$, значит, график касается оси $$Ox$$ в одной точке.
Следовательно, уравнение имеет один корень.
$$2x^2-5x+2=0$$
$$y=2x^2-5x+2$$ — парабола, ветви направлены вверх.
Координата вершины по оси $$x$$:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2\cdot 2}=\frac{5}{4}.$$
Найдём ординату вершины:
$$y_0=f\!\left(\frac{5}{4}\right)=2\left(\frac{5}{4}\right)^2-5\cdot\frac{5}{4}+2=2\cdot\frac{25}{16}-\frac{25}{4}+2=\frac{25}{8}-\frac{50}{8}+\frac{16}{8}=-\frac{9}{8}.$$
Вершина ниже оси $$Ox$$, а ветви направлены вверх, значит, график пересекает ось $$Ox$$ в двух точках.
Следовательно, уравнение имеет два корня.
$$-2x^2+3x-2=0$$
$$y=-2x^2+3x-2$$ — парабола, ветви направлены вниз.
Координата вершины по оси $$x$$:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-2)}=\frac{3}{4}.$$
Найдём ординату вершины:
$$y_0=f\!\left(\frac{3}{4}\right)=-2\left(\frac{3}{4}\right)^2+3\cdot\frac{3}{4}-2=-2\cdot\frac{9}{16}+\frac{9}{4}-2=-\frac{9}{8}+\frac{18}{8}-\frac{16}{8}=-\frac{7}{8}.$$
Вершина ниже оси $$Ox$$, а ветви направлены вниз, значит, график не пересекает ось $$Ox$$.
Следовательно, уравнение не имеет корней.