Упр.32.23 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. 29.23. Решите уравнение:

а) $$\frac{x^2+1}{x^2-4x+3}+\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x-3}$$

ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne 3.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

Тогда

$$\frac{x^2+1}{(x-1)(x-3)}+\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x-3}.$$

Умножим обе части на $$(x-1)(x-3)$$:

$$x^2+1+2(x-3)=3(x-1).$$

$$x^2+1+2x-6=3x-3$$

$$x^2-x-2=0.$$

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0.$$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=-1$$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

б) $$\frac{18}{x-8}=\frac{x^2-7}{x^2-7x-8}-\frac{6}{x+1}$$

ОДЗ: $$x\ne 8,\; x\ne -1.$$

Разложим знаменатель:

$$x^2-7x-8=(x-8)(x+1).$$

Тогда

$$\frac{18}{x-8}=\frac{x^2-7}{(x-8)(x+1)}-\frac{6}{x+1}.$$

Умножим обе части на $$(x-8)(x+1)$$:

$$18(x+1)=x^2-7-6(x-8).$$

$$18x+18=x^2-7-6x+48$$

$$x^2-24x+23=0.$$

$$x^2-24x+23=(x-1)(x-23)=0.$$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=23$$. Оба значения подходят.

Ответ

а) $$x=-1,\; 2$$; б) $$x=1,\; 23$$.