Упр.32.22 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) 3x^2 — 2х + 13 = 0; в) х^2 + 2х + 4 = 0;
б) -х^2 — 3х + 7 = 0; г) -2х^2 + 5х — 9 = 0.

Подробный ответ

Рассмотрим каждое уравнение как квадратное и найдём значение функции в вершине параболы. Если вершина лежит выше оси $$Ox$$ и ветви направлены вверх, или ниже оси $$Ox$$ и ветви направлены вниз, то график не пересекает ось $$Ox$$, значит, корней нет.

$$3x^2-2x+13=0$$
$$y=3x^2-2x+13$$
Ветви параболы направлены вверх, так как $$a=3>0$$.
Координата вершины:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot 3}=\frac13$$
$$y_0=f\!\left(\frac13\right)=3\cdot\frac19-2\cdot\frac13+13=\frac13-\frac23+13=\frac{38}{3}$$
Вершина имеет координаты $$\left(\frac13;\frac{38}{3}\right)$$, то есть лежит выше оси $$Ox$$. Следовательно, уравнение не имеет корней.
$$-x^2-3x+7=0$$
$$y=-x^2-3x+7$$
Ветви параболы направлены вниз, так как $$a=-1<0$$.
Координата вершины:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-3)}{2\cdot(-1)}=-\frac32$$
$$y_0=f\!\left(-\frac32\right)=-\left(-\frac32\right)^2-3\left(-\frac32\right)+7=-\frac94+\frac92+7=\frac{37}{4}$$
Вершина имеет координаты $$\left(-\frac32;\frac{37}{4}\right)$$, то есть лежит выше оси $$Ox$$. При ветвях, направленных вниз, график пересекает ось $$Ox$$, значит, уравнение имеет корни.
Следовательно, в данном пункте в условии, вероятно, опечатка.
$$x^2+2x+4=0$$
$$y=x^2+2x+4$$
Ветви параболы направлены вверх, так как $$a=1>0$$.
Координата вершины:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2}=-1$$
$$y_0=f(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)+4=1-2+4=3$$
Вершина имеет координаты $$(-1;3)$$, то есть лежит выше оси $$Ox$$. Значит, уравнение не имеет корней.
$$-2x^2+5x-9=0$$
$$y=-2x^2+5x-9$$
Ветви параболы направлены вниз, так как $$a=-2<0$$.
Координата вершины:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot(-2)}=\frac54$$
$$y_0=f\!\left(\frac54\right)=-2\left(\frac54\right)^2+5\cdot\frac54-9=-2\cdot\frac{25}{16}+\frac{25}{4}-9=-\frac{25}{8}+\frac{50}{8}-\frac{72}{8}=-\frac{47}{8}$$
Вершина имеет координаты $$\left(\frac54;-\frac{47}{8}\right)$$, то есть лежит ниже оси $$Ox$$. При ветвях, направленных вниз, график не пересекает ось $$Ox$$, значит, уравнение не имеет корней.