Упр.32.15 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) Найдите значение коэффициента $$a$$, если известно, что прямая $$x=2$$ является осью симметрии графика функции $$y=ax^2-(a+6)x+9$$.
б) При каком значении коэффициента $$c$$ вершина параболы $$y=x^2+6x+c$$ находится на расстоянии 5 от начала координат?
в) При каких значениях коэффициентов $$b$$ и $$c$$ точка $$A(1;-2)$$ является вершиной параболы $$y=x^2+bx+c$$?
г) При каких значениях коэффициентов $$b$$ и $$c$$ график функции $$y=x^2+bx+c$$ проходит через точки $$A(1;6)$$ и $$B(-1;2)$$?
Решите графически систему уравнений:
а) $$\begin{cases} y=(x+2)^2-3,\\ y=1-x; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} y=(x-2)^2-2,\\ y=-|x+1|+3. \end{cases}$$
а) Для функции $$y=ax^2-(a+6)x+9$$ абсцисса оси симметрии равна
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-(a+6)}{2a}=\frac{a+6}{2a}.$$
По условию $$x_0=2$$, значит
$$\frac{a+6}{2a}=2,$$
$$a+6=4a,$$
$$3a=6,$$
$$a=2.$$
б) Для функции $$y=x^2+6x+c$$ вершина имеет абсциссу
$$x_0=-\frac{6}{2}=-3.$$
Ордината вершины:
$$y_0=f(-3)=9-18+c=c-9.$$
Значит, вершина имеет координаты $$(-3;\,c-9)$$ и находится на расстоянии 5 от начала координат:
$$(-3)^2+(c-9)^2=5^2,$$
$$9+(c-9)^2=25,$$
$$(c-9)^2=16,$$
$$c-9=\pm 4.$$
Отсюда
$$c=5 \quad \text{или} \quad c=13.$$
в) Для параболы $$y=x^2+bx+c$$ абсцисса вершины равна
$$x_0=-\frac{b}{2}.$$
Так как вершина — точка $$A(1;\,-2)$$, то
$$-\frac{b}{2}=1,$$
$$b=-2.$$
Теперь подставим координаты точки $$A(1;\,-2)$$ в уравнение функции:
$$-2=1^2+(-2)\cdot 1+c,$$
$$-2=1-2+c,$$
$$c=-1.$$
г) Точки $$A(1;\,6)$$ и $$B(-1;\,2)$$ лежат на графике функции $$y=x^2+bx+c$$, значит:
$$6=1^2+b\cdot 1+c,$$
$$2=(-1)^2+b\cdot(-1)+c.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} b+c=5,\\ -b+c=1. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2c=6,$$
$$c=3.$$
Тогда
$$b+3=5,$$
$$b=2.$$
а) Решим систему графически:
$$\begin{cases} y=(x+2)^2-3,\\ y=1-x. \end{cases}$$
Точки пересечения графиков удовлетворяют уравнению
$$(x+2)^2-3=1-x.$$
$$x^2+4x+4-3=1-x,$$
$$x^2+5x=0,$$
$$x(x+5)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=-5$$.
Тогда
при $$x=0$$: $$y=1,$$
при $$x=-5$$: $$y=6.$$
б) Решим систему графически:
$$\begin{cases} y=(x-2)^2-2,\\ y=-|x+1|+3. \end{cases}$$
Точки пересечения графиков удовлетворяют уравнению
$$(x-2)^2-2=-|x+1|+3.$$
По графику получаем точки пересечения:
$$(0;\,2) \quad \text{и} \quad (3;\,-1).$$
Ответ
а) $$a=2$$; б) $$c=5$$ или $$c=13$$; в) $$b=-2,\ c=-1$$; г) $$b=2,\ c=3$$; система а) $$(-5;\,6)$$ и $$(0;\,1)$$; система б) $$(0;\,2)$$ и $$(3;\,-1)$$.
