Упр.32.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года: Постройте и прочитайте график функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}2x^2+4x-1, & \text{если } -2\leq x<0;\\x-1, & \text{если } x\geq 0.\end{cases}$$
2. Задание учебника 2019 года: Постройте и прочитайте график функции $$y=\begin{cases}|x-2|-3, & \text{если } -6\leq x<1;\\(x-1)^2, & \text{если } x\geq 1.\end{cases}$$

1) $$f(x)=\begin{cases}2x^2+4x-1, & -2\le x<0,\\ x-1, & x\ge 0.\end{cases}$$

На промежутке $$-2\le x<0$$ строим часть параболы $$y=2x^2+4x-1$$. Приведём к вершиной форме:

$$2x^2+4x-1=2(x+1)^2-3.$$

Значит, вершина параболы — точка $$(-1;\,-3)$$, ветви направлены вверх. Для построения удобно взять несколько точек:

$$f(-2)=-1,\quad f(-1)=-3,\quad f(0)=-1.$$

Точка $$x=0$$ для первой части не входит в график, поэтому в точке $$\bigl(0;\,-1\bigr)$$ ставим пустую точку для параболы.

На промежутке $$x\ge 0$$ строим луч прямой $$y=x-1$$, начиная с точки $$\bigl(0;\,-1\bigr)$$.

По графику получаем:

• область определения: $$[-2;\,+\infty)$$;
• нули функции: $$x=1$$;
• $$f(x)<0$$ при $$x\in[-2;\,1)$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x>1$$;
• функция убывает на $$[-2;\,-1]$$ и возрастает на $$[-1;\,+\infty)$$;
• наименьшее значение: $$-3$$;
• наибольшего значения нет;
• область значений: $$[-3;\,+\infty)$$.

2) $$y=\begin{cases}|x-2|-3, & -6\le x<1,\\ (x-1)^2, & x\ge 1.\end{cases}$$

Для первой части:

$$y=|x-2|-3.$$

Это график функции $$y=|x|$$, сдвинутый на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз. На промежутке $$-6\le x<1$$ получаем отрезок ломаной с вершиной в точке $$\bigl(2;\,-3\bigr)$$, но так как $$x<1$$, на данном промежутке используется только левая ветвь:

$$y=-(x-2)-3=-x-1,\quad -6\le x<1.$$

Для второй части:

$$y=(x-1)^2,$$

это парабола с вершиной в точке $$\bigl(1;\,0\bigr)$$, ветви направлены вверх, и она строится при $$x\ge 1$$.

В точке $$x=1$$ первая часть не входит в график, а вторая входит, поэтому точка $$\bigl(1;\,0\bigr)$$ закрашена.

По графику получаем:

• область определения: $$[-6;\,+\infty)$$;
• нули функции: $$x=-1$$ и $$x=1$$;
• $$y<0$$ при $$x\in(-1;\,1)$$;
• $$y>0$$ при $$x\in[-6;\,-1)\cup(1;\,+\infty)$$;
• функция убывает на $$[-6;\,1]$$ и возрастает на $$[1;\,+\infty)$$;
• наименьшего значения нет;
• наибольшего значения нет;
• область значений: $$(-2;\,+\infty)$$.

Ответ

1) $$D(f)=[-2;\,+\infty),\quad E(f)=[-3;\,+\infty),\quad \min f=-3.$$
2) $$D(y)=[-6;\,+\infty),\quad E(y)=(-2;\,+\infty).$$