Упр.32.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Постройте график функции: а) $$y=x^2+6x$$; б) $$y=2x^2+4x$$; в) $$y=-3x^2+12x$$; г) $$y=-x^2-2x$$; д) $$y=3x^2-12x$$; е) $$y=-4x^2-12x$$.
- а) Катер, собственная скорость которого равна $$16\ \text{км/ч}$$, прошёл $$40\ \text{км}$$ по течению реки и $$24\ \text{км}$$ против течения, затратив на весь путь $$4\ \text{ч}$$. Чему равна скорость течения реки?
б) Теплоход прошёл $$24\ \text{км}$$ против течения реки и ещё $$36\ \text{км}$$ по течению реки, затратив на весь путь $$4\ \text{ч}$$. С какой скоростью двигался бы теплоход по озеру, если скорость течения реки $$3\ \text{км/ч}$$?
а) $$y=x^2+6x$$
Ветви параболы направлены вверх, так как $$a=1>0$$.
Найдём ось симметрии:
$$x_0=-\frac{6}{2\cdot 1}=-3$$
Вершина параболы:
$$y_0=f(-3)=(-3)^2+6\cdot(-3)=9-18=-9$$
Значит, вершина — точка $$(-3;\,-9)$$.
б) $$y=2x^2+4x$$
Ветви параболы направлены вверх.
$$x_0=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1$$
$$y_0=f(-1)=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)=2-4=-2$$
Вершина: $$(-1;\,-2)$$.
в) $$y=-3x^2+12x$$
Ветви параболы направлены вниз, так как $$a=-3<0$$.
$$x_0=-\frac{12}{2\cdot(-3)}=2$$
$$y_0=f(2)=-3\cdot 2^2+12\cdot 2=-12+24=12$$
Вершина: $$(2;\,12)$$.
г) $$y=-x^2-2x$$
Ветви параболы направлены вниз.
$$x_0=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1$$
$$y_0=f(-1)=-(-1)^2-2\cdot(-1)=-1+2=1$$
Вершина: $$(-1;\,1)$$.
д) $$y=3x^2-12x$$
Ветви параболы направлены вверх.
$$x_0=-\frac{-12}{2\cdot 3}=2$$
$$y_0=f(2)=3\cdot 2^2-12\cdot 2=12-24=-12$$
Вершина: $$(2;\,-12)$$.
е) $$y=-4x^2-12x$$
Ветви параболы направлены вниз.
$$x_0=-\frac{-12}{2\cdot(-4)}=-1{,}5$$
$$y_0=f(-1{,}5)=-4\cdot(-1{,}5)^2-12\cdot(-1{,}5)=-4\cdot 2{,}25+18=-9+18=9$$
Вершина: $$(-1{,}5;\,9)$$.
а) Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость катера по течению равна $$16+x$$ км/ч, а против течения — $$16-x$$ км/ч.
Составим уравнение по времени:
$$\frac{40}{16+x}+\frac{24}{16-x}=4,\qquad 0<x<16$$
Решим его:
$$40(16-x)+24(16+x)=4(16-x)(16+x)$$
$$640-40x+384+24x=4(256-x^2)$$
$$1024-16x=1024-4x^2$$
$$4x^2-16x=0$$
$$4x(x-4)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=4$$Так как $$x>0$$, получаем $$x=4$$.
б) Пусть собственная скорость теплохода равна $$x$$ км/ч. Тогда по течению он движется со скоростью $$x+3$$ км/ч, а против течения — $$x-3$$ км/ч.
Составим уравнение:
$$\frac{24}{x-3}+\frac{36}{x+3}=4,\qquad x>3$$
Решим его:
$$24(x+3)+36(x-3)=4(x-3)(x+3)$$
$$24x+72+36x-108=4(x^2-9)$$
$$60x-36=4x^2-36$$
$$4x^2-60x=0$$
$$4x(x-15)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=15$$С учётом условия $$x>3$$ получаем $$x=15$$.
Ответ
а) вершина $$(-3;\,-9)$$; б) вершина $$(-1;\,-2)$$; в) вершина $$(2;\,12)$$; г) вершина $$(-1;\,1)$$; д) вершина $$(2;\,-12)$$; е) вершина $$(-1{,}5;\,9)$$; а) $$4$$ км/ч; б) $$15$$ км/ч.
