Упр.32.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) y = x^2 + 4x — 3; г) y = x^2 — 4x + 5;
б) y = -x^2 + 6x — 4; д) y = -x^2 — 8x + 11;
в) y = 2x^2 — 4x + 7; е) y = -1/2 x^2 — 6x — 13. а) От вершины прямого угла по его сторонам одновременно начинают двигаться две материальные точки, скорости которых равны 9 см/с и 12 см/с. Через какое время расстояние между ними будет равно 60 см?
б) От вершины квадрата по сторонам одного из углов одновременно начинают движение две мухи, скорости которых равны 5 см/с и 12 см/с. Через какое время расстояние между ними будет равно 26 см?

Подробный ответ

а) $$y=x^2+4x-3$$
Ветви параболы направлены вверх, так как $$a=1>0$$.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2.$$
Тогда
$$y_0=f(-2)=(-2)^2+4\cdot(-2)-3=4-8-3=-7.$$
Вершина параболы: $$(-2;\,-7)$$, ось симметрии: $$x=-2$$.
б) $$y=-x^2+6x-4$$
Ветви параболы направлены вниз, так как $$a=-1<0$$.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3.$$
Тогда
$$y_0=f(3)=-3^2+6\cdot 3-4=-9+18-4=5.$$
Вершина параболы: $$ (3;\,5) $$, ось симметрии: $$x=3$$.
в) $$y=2x^2-4x+7$$
Ветви параболы направлены вверх, так как $$a=2>0$$.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1.$$
Тогда
$$y_0=f(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1+7=2-4+7=5.$$
Вершина параболы: $$ (1;\,5) $$, ось симметрии: $$x=1$$.
г) $$y=x^2-4x+5$$
Ветви параболы направлены вверх, так как $$a=1>0$$.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2.$$
Тогда
$$y_0=f(2)=2^2-4\cdot 2+5=4-8+5=1.$$
Вершина параболы: $$ (2;\,1) $$, ось симметрии: $$x=2$$.
д) $$y=-x^2-8x+11$$
Ветви параболы направлены вниз, так как $$a=-1<0$$.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot(-1)}=-4.$$
Тогда
$$y_0=f(-4)=-(-4)^2-8\cdot(-4)+11=-16+32+11=27.$$
Вершина параболы: $$(-4;\,27)$$, ось симметрии: $$x=-4$$.
е) $$y=-\frac12x^2-6x-13$$
Ветви параболы направлены вниз, так как $$a=-\frac12<0$$.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot\left(-\frac12\right)}=-6.$$
Тогда
$$y_0=f(-6)=-\frac12\cdot(-6)^2-6\cdot(-6)-13=-18+36-13=5.$$
Вершина параболы: $$(-6;\,5)$$, ось симметрии: $$x=-6$$.
а) Пусть через $$t$$ с расстояние между точками будет равно $$60$$ см.
Тогда одна точка пройдёт $$9t$$ см, а другая — $$12t$$ см. По теореме Пифагора:
$$ (9t)^2+(12t)^2=60^2 \\ 81t^2+144t^2=3600 \\ 225t^2=3600 \\ t^2=16 \\ t=4 $$
Отрицательное значение не подходит.
б) Пусть через $$t$$ с расстояние между мухами будет равно $$26$$ см.
Тогда одна муха пройдёт $$5t$$ см, а другая — $$12t$$ см. По теореме Пифагора:
$$ (5t)^2+(12t)^2=26^2 \\ 25t^2+144t^2=676 \\ 169t^2=676 \\ t^2=4 \\ t=2 $$
Отрицательное значение не подходит.