Упр.31.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{4}{x}, & x<-1,\\ (x+1)^2+1, & -1\le x\le 3. \end{cases}$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-4)=-\dfrac{4}{-4}=1,$$

$$f(-1)=(-1+1)^2+1=0^2+1=1,$$

$$f(0)=(0+1)^2+1=1^2+1=2.$$

Значение $$f(5)$$ не существует, так как $$5$$ не принадлежит области определения функции.

б) Построим график функции.

При $$x<-1$$ график задаётся функцией $$y=-\dfrac{4}{x}$$ — это ветвь гиперболы. Удобные точки для построения:

$$(-16;\,0{,}25),\; (-8;\,0{,}5),\; (-4;\,1),\; (-2;\,2).$$

При $$-1\le x\le 3$$ график задаётся параболой $$y=(x+1)^2+1$$. Её вершина — точка $$(-1;\,1)$$, ветви направлены вверх. Для построения можно взять точки:

$$(-1;\,1),\; (0;\,2),\; (1;\,5),\; (2;\,10),\; (3;\,17).$$

в) Решим уравнения:

1) $$f(x)=-1$$

Для $$x<-1$$:

$$-\dfrac{4}{x}=-1 \Rightarrow \dfrac{4}{x}=1 \Rightarrow x=4,$$

но $$4\not<-1$$, значит решений нет.

Для $$-1\le x\le 3$$:

$$(x+1)^2+1=-1,$$

что невозможно. Следовательно, решений нет.

2) $$f(x)=1$$

Для $$x<-1$$:

$$-\dfrac{4}{x}=1 \Rightarrow x=-4.$$

Для $$-1\le x\le 3$$:

$$(x+1)^2+1=1 \Rightarrow (x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1.$$

Итак, $$x=-4$$ и $$x=-1$$.

3) $$f(x)=5$$

Для $$x<-1$$:

$$-\dfrac{4}{x}=5 \Rightarrow x=-\dfrac{4}{5},$$

но $$-\dfrac{4}{5}\not<-1$$, значит решений нет.

Для $$-1\le x\le 3$$:

$$(x+1)^2+1=5 \Rightarrow (x+1)^2=4 \Rightarrow x+1=\pm 2.$$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=-3$$, но $$-3\notin[-1;3]$$. Значит, подходит только $$x=1$$.

г) На отрезке $$[-8;-4]$$ действует формула $$f(x)=-\dfrac{4}{x}$$. На этом отрезке функция возрастает, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=-8$$, а наибольшее — при $$x=-4$$:

$$f(-8)=\dfrac{1}{2}, \qquad f(-4)=1.$$

Ответ

а) $$f(-4)=1,\; f(-1)=1,\; f(0)=2,\; f(5)$$ не существует.

в) $$f(x)=-1$$ — решений нет; $$f(x)=1$$ при $$x=-4$$ и $$x=-1$$; $$f(x)=5$$ при $$x=1$$.

г) Наименьшее значение на $$[-8;-4]$$ равно $$\dfrac{1}{2}$$, наибольшее — $$1$$.