Упр.31.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

f(x) = {v(x + 4) — 1, если -4 ? x < 0; -x^2 + 1, если x ? 0}. Дана функция у = f(x), где f(x) = {-4/x, если x < -1; (x + 1)^2 + 1, если -1 ? x ? 3}. а) Найдите f(-4), f(-1), f(0), f(5). б) Постройте график функции у = f(x). в) При каких значениях х справедливы равенства f(x) = — 1, f(x) = 1, f(x) = 5? г) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [—8; —4].

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -\dfrac{4}{x}, & x<-1,\\ (x+1)^2+1, & -1\le x\le 3. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-4)=-\dfrac{4}{-4}=1, $$

$$ f(-1)=(-1+1)^2+1=0^2+1=1, $$

$$ f(0)=(0+1)^2+1=1^2+1=2. $$

Значение $$f(5)$$ не существует, так как $$5$$ не принадлежит области определения функции.

б) Построим график функции.

При $$x<-1$$ график задаётся функцией $$y=-\dfrac{4}{x}$$ — это ветвь гиперболы. Удобные точки для построения:

$$ (-16;\,0{,}25),\; (-8;\,0{,}5),\; (-4;\,1),\; (-2;\,2). $$

При $$-1\le x\le 3$$ график задаётся параболой $$y=(x+1)^2+1$$. Её вершина — точка $$(-1;\,1)$$, ветви направлены вверх. Для построения можно взять точки:

$$ (-1;\,1),\; (0;\,2),\; (1;\,5),\; (2;\,10),\; (3;\,17). $$

в) Решим уравнения:

1) $$f(x)=-1$$

Для $$x<-1$$:

$$ -\dfrac{4}{x}=-1 \Rightarrow \dfrac{4}{x}=1 \Rightarrow x=4, $$

но $$4\not<-1$$, значит решений нет.

Для $$-1\le x\le 3$$:

$$ (x+1)^2+1=-1, $$

что невозможно. Следовательно, решений нет.

2) $$f(x)=1$$

Для $$x<-1$$:

$$ -\dfrac{4}{x}=1 \Rightarrow x=-4. $$

Для $$-1\le x\le 3$$:

$$ (x+1)^2+1=1 \Rightarrow (x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1. $$

Итак, $$x=-4$$ и $$x=-1$$.

3) $$f(x)=5$$

Для $$x<-1$$:

$$ -\dfrac{4}{x}=5 \Rightarrow x=-\dfrac{4}{5}, $$

но $$-\dfrac{4}{5}\not<-1$$, значит решений нет.

Для $$-1\le x\le 3$$:

$$ (x+1)^2+1=5 \Rightarrow (x+1)^2=4 \Rightarrow x+1=\pm 2. $$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=-3$$, но $$-3\notin[-1;3]$$. Значит, подходит только $$x=1$$.

г) На отрезке $$[-8;-4]$$ действует формула $$f(x)=-\dfrac{4}{x}$$. На этом отрезке функция возрастает, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=-8$$, а наибольшее — при $$x=-4$$:

$$ f(-8)=\dfrac{1}{2}, \qquad f(-4)=1. $$