Упр.31.8 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=|x-3|-1$$. Найдите: а) наименьшее значение функции; б) промежутки возрастания и убывания функции; в) значения $$x$$, при которых $$y=0$$, $$y>0$$, $$y<0$$; г) область значений функции.
Решите графически систему уравнений:
а) $$\begin{cases} y=-\frac{6}{x},\\ y=\sqrt{x+7}; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} y=\sqrt{x+3}+2,\\ y=-\frac{6}{x}; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} y=|x-1|-4,\\ y=-\frac{4}{x}; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} y=-(x+1)^2,\\ y=-\frac{4}{x}; \end{cases}$$
д) $$\begin{cases} y=-\frac{5}{x},\\ y=(x-1)^2+1; \end{cases}$$
е) $$\begin{cases} y=-\frac{3}{x},\\ y=-|x|+2. \end{cases}$$

Подробный ответ

1) Функция $$y=|x-3|-1$$ получается из графика $$y=|x|$$ сдвигом на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Поэтому вершина графика — точка $$\left(3;\,-1\right)$$.

Отсюда:

а) наименьшее значение функции: $$y_{\min}=-1$$;

б) функция убывает на $$(-\infty;\,3]$$, возрастает на $$[3;\,+\infty)$$;

в) $$y=0$$ при

$$|x-3|-1=0 \Rightarrow |x-3|=1 \Rightarrow x=2 \text{ или } x=4;$$

$$y>0$$ при $$x<2$$ или $$x>4;$$

$$y<0$$ при $$2<x<4;$$

г) область значений функции: $$[-1;\,+\infty)$$.

2) Решим графически системы уравнений. Точки пересечения графиков — это решения систем.

$$\begin{cases} y=-\dfrac{6}{x},\\ y=\sqrt{x+7} \end{cases}$$
Графики пересекаются в точках $$(-6;\,1)$$ и $$(-3;\,2)$$.
$$\begin{cases} y=\sqrt{x+3}+2,\\ y=-\dfrac{6}{x} \end{cases}$$
Точки пересечения: $$(-3;\,2)$$ и $$(-2;\,3)$$.
$$\begin{cases} y=|x-1|-4,\\ y=-\dfrac{4}{x} \end{cases}$$
Точки пересечения: $$(-4;\,1)$$, $$\left(1;\,-4\right)$$ и $$\left(4;\,-1\right)$$.
$$\begin{cases} y=-(x+1)^2,\\ y=-\dfrac{4}{x} \end{cases}$$
Точка пересечения: $$\left(1;\,-4\right)$$.
$$\begin{cases} y=-\dfrac{5}{x},\\ y=(x-1)^2+1 \end{cases}$$
Точка пересечения: $$\left(-1;\,5\right)$$.
$$\begin{cases} y=-\dfrac{3}{x},\\ y=-|x|+2 \end{cases}$$
Точка пересечения: $$\left(3;\,-1\right)$$.