Упр.31.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) Найдите область определения функции.
б) Найдите область значений функции.
в) Укажите координаты точек пересечения графика с осями координат.
г) Найдите значения аргумента, при которых у > 0, у < 0.
Решите графически уравнение:
а) -4/x = -2x + 2; г) -4/x = -0,5x + 1;
б) -6/x = -x - 1; д) -6/x = -3x + 3;
в) -8/x = -4(x + 1)^2 + 8; е) -8/x = 4(x - 1)^2 - 8.
1) Построим график функции $$y=\sqrt{x+2}-2.$$
График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем на 2 единицы влево вдоль оси $$Ox$$ и на 2 единицы вниз вдоль оси $$Oy$$.
а) Область определения: $$x+2\ge 0,$$ значит $$x\ge -2.$$ Поэтому $$D(y)=[-2;+\infty).$$
б) Так как $$\sqrt{x+2}\ge 0,$$ то $$y=\sqrt{x+2}-2\ge -2.$$ Следовательно, область значений: $$E(y)=[-2;+\infty).$$
в) Найдём точки пересечения с осями координат.
С осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем $$y=\sqrt{2}-2\approx -0{,}6,$$ значит точка $$\left(0;\sqrt{2}-2\right).$$
С осью $$Ox$$: при $$y=0$$ имеем
$$\sqrt{x+2}-2=0 \\ \sqrt{x+2}=2 \\ x+2=4 \\ x=2.$$
Точка пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(2;0\right).$$
г) Найдём, при каких $$x$$ функция положительна и отрицательна:
$$\sqrt{x+2}-2>0 \\ \sqrt{x+2}>2 \\ x>2,$$
$$\sqrt{x+2}-2<0 \\ \sqrt{x+2}<2 \\ -2\le x<2.$$
2) Решим графически уравнения, сравнивая графики функций.
$$-\frac{4}{x}=-2x+2.$$
Точки пересечения графиков соответствуют решениям уравнения: $$x=-1$$ и $$x=2.$$
$$-\frac{6}{x}=-x-1.$$
Решения: $$x=-3$$ и $$x=2.$$
$$-\frac{8}{x}=-4(x+1)^2+8.$$
Решения: $$x=-2,$$ $$x=-1$$ и $$x=1.$$
$$-\frac{4}{x}=-0{,}5x+1.$$
Решения: $$x=-2$$ и $$x=4.$$
$$-\frac{6}{x}=-3x+3.$$
Решения: $$x=-1$$ и $$x=2.$$
$$-\frac{8}{x}=4(x-1)^2-8.$$
Решения: $$x=-1,$$ $$x=1$$ и $$x=2.$$
Ответ
$$D(y)=[-2;+\infty),\quad E(y)=[-2;+\infty).$$
Точки пересечения с осями: $$\left(0;\sqrt{2}-2\right)$$ и $$\left(2;0\right).$$
$$y>0$$ при $$x>2,$$ $$y<0$$ при $$-2\le x<2.$$
а) $$x=-1,\ 2.$$ б) $$x=-3,\ 2.$$ в) $$x=-2,\ -1,\ 1.$$ г) $$x=-2,\ 4.$$ д) $$x=-1,\ 2.$$ е) $$x=-1,\ 1,\ 2.$$
