Упр.31.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) у = -0,2(x + 1)^2 — 1 на отрезке [—3; 1];
б) у = v(x + 2) — 3 на отрезке [-2; 2];
в) у = -|х + 1| — 3 на полуинтервале (—2; 2];
г) у = 2(х — 1)^2 + 3 на отрезке [0; 1];
д) у = -v(х — 4) + 2 на отрезке [4; 8];
е) у = |х — 1| + 3 на луче [0; +?). Дана функция у = f(x), где f(x) = -12/x. Найдите:
а) f(-6), f(-3), f(1/3); г) f(-4), f(1), f(-1 1/3);
б) f(a), f(-a), f(-2a); д) f(3b), f(-3b), f(1/3 b);
в) f(-x^2), 1/3 f(x^3) + 2, f(1/x); е) f(x^3), 1/4 f(x^2 + 1), f(-1/x^2).

1. а) $$y=-0{,}2(x+1)^2-1$$ — парабола, ветви направлены вниз. Вершина $$(-1;\,-1)$$.

   На отрезке $$[-3;1]$$ наибольшее значение достигается в вершине:

   $$y_{\max}=-1.$$

   Наименьшее значение найдём на концах отрезка:

   $$y(-3)=-0{,}2\cdot(-3+1)^2-1=-0{,}2\cdot4-1=-1{,}8,$$

   $$y(1)=-0{,}2\cdot(1+1)^2-1=-0{,}2\cdot4-1=-1{,}8.$$

   Значит, $$y_{\min}=-1{,}8.$$

2. б) $$y=\sqrt{x+2}-3.$$ Функция возрастает на своей области определения $$x\ge -2$$.

   На отрезке $$[-2;2]$$:

   $$y_{\min}=y(-2)=\sqrt{0}-3=-3,$$

   $$y_{\max}=y(2)=\sqrt{4}-3=2-3=-1.$$

3. в) $$y=-|x+1|-3.$$ Это функция с ветвями вниз, наибольшее значение в вершине $$(-1;\,-3)$$.

   На полуинтервале $$(-2;2]$$:

   $$y_{\max}=-3.$$

   Наименьшее значение достигается при $$x=2$$:

   $$y_{\min}=-|2+1|-3=-3-3=-6.$$

4. г) $$y=2(x-1)^2+3$$ — парабола, ветви направлены вверх. Вершина $$ (1;\,3) $$.

   На отрезке $$[0;1]$$:

   $$y_{\min}=y(1)=3,$$

   $$y_{\max}=y(0)=2\cdot(0-1)^2+3=2+3=5.$$

5. д) $$y=-\sqrt{x-4}+2.$$ Область определения: $$x\ge 4$$. Функция убывает.

   На отрезке $$[4;8]$$:

   $$y_{\max}=y(4)=-\sqrt{0}+2=2,$$

   $$y_{\min}=y(8)=-\sqrt{8-4}+2=-\sqrt{4}+2=-2+2=0.$$

6. е) $$y=|x-1|+3.$$ Это функция с ветвями вверх, наименьшее значение в вершине $$ (1;\,3) $$.

   На луче $$[0;+\infty)$$:

   $$y_{\min}=3,$$

   наибольшего значения не существует.

Ход решения

1. Дана функция $$f(x)=-\dfrac{12}{x}.$$

   а)

   $$f(-6)=-\dfrac{12}{-6}=2,$$

   $$f(-3)=-\dfrac{12}{-3}=4,$$

   $$f\!\left(\dfrac13\right)=-\dfrac{12}{1/3}=-36.$$

2. б)

   $$f(a)=-\dfrac{12}{a},$$

   $$f(-a)=-\dfrac{12}{-a}=\dfrac{12}{a},$$

   $$f(-2a)=-\dfrac{12}{-2a}=\dfrac{6}{a}.$$

3. в)

   $$f(-x^2)=-\dfrac{12}{-x^2}=\dfrac{12}{x^2},$$

   $$\dfrac13 f(x^3)+2=\dfrac13\left(-\dfrac{12}{x^3}\right)+2=-\dfrac{4}{x^3}+2,$$

   $$f\!\left(\dfrac1x\right)=-\dfrac{12}{1/x}=-12x.$$

4. г)

   $$f(-4)=-\dfrac{12}{-4}=3,$$

   $$f(1)=-\dfrac{12}{1}=-12,$$

   $$f\!\left(-1\dfrac13\right)=f\!\left(-\dfrac43\right)=-\dfrac{12}{-4/3}=9.$$

5. д)

   $$f(3b)=-\dfrac{12}{3b}=-\dfrac{4}{b},$$

   $$f(-3b)=-\dfrac{12}{-3b}=\dfrac{4}{b},$$

   $$f\!\left(\dfrac13 b\right)=-\dfrac{12}{b/3}=-\dfrac{36}{b}.$$

6. е)

   $$f(x^3)=-\dfrac{12}{x^3},$$

   $$\dfrac14 f(x^2+1)=\dfrac14\left(-\dfrac{12}{x^2+1}\right)=-\dfrac{3}{x^2+1},$$

   $$f\!\left(-\dfrac1{x^2}\right)=-\dfrac{12}{-1/x^2}=12x^2.$$

Ответ

1) а) $$y_{\max}=-1,\ y_{\min}=-1{,}8$$; б) $$y_{\max}=-1,\ y_{\min}=-3$$; в) $$y_{\max}=-3,\ y_{\min}=-6$$; г) $$y_{\max}=5,\ y_{\min}=3$$; д) $$y_{\max}=2,\ y_{\min}=0$$; е) $$y_{\min}=3,$$ наибольшего значения не существует.
2) а) $$2,\ 4,\ -36$$; б) $$-\dfrac{12}{a},\ \dfrac{12}{a},\ \dfrac{6}{a}$$; в) $$\dfrac{12}{x^2},\ -\dfrac{4}{x^3}+2,\ -12x$$; г) $$3,\ -12,\ 9$$; д) $$-\dfrac{4}{b},\ \dfrac{4}{b},\ -\dfrac{36}{b}$$; е) $$-\dfrac{12}{x^3},\ -\dfrac{3}{x^2+1},\ 12x^2$$.