Упр.31.3 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) у = 2(x — 3)^2 + 1; г) у = 1/2 (x + 1)^2 — 2;
б) y = |х + 2| + 4; д) y = -|х — 3| — 4;
в) y = -v(х + 2) — 4; е) у = v(x — 1) + 3.
Дана функция у = f(x), где у = -3/x.
а) Постройте график функции у = f(x).
б) С помощью графика найдите f(—3), f(—1), f(1).
в) Выделите часть графика, соответствующую условию у < -1. При каких значениях х выполняется условие у ? -1? г) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1; 3].

1. а) $$y=2(x-3)^2+1$$

   Это график функции $$y=2x^2$$, сдвинутый на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Вершина параболы: $$\left(3;1\right)$$.

   Функция убывает на $$(-\infty;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty)$$.

2. б) $$y=|x+2|+4$$

   Это график функции $$y=|x|$$, сдвинутый на 2 единицы влево и на 4 единицы вверх. Вершина: $$(-2;4)$$.

   Функция убывает на $$(-\infty;-2]$$ и возрастает на $$[-2;+\infty)$$.

3. в) $$y=-\sqrt{x+2}-4$$

   Это график функции $$y=-\sqrt{x}$$, сдвинутый на 2 единицы влево и на 4 единицы вниз. Область определения: $$x\ge -2$$.

   Функция убывает на $$[-2;+\infty)$$.

4. г) $$y=\frac12(x+1)^2-2$$

   Это график функции $$y=\frac12x^2$$, сдвинутый на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз. Вершина: $$(-1;-2)$$.

   Функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty)$$.

5. д) $$y=-|x-3|-4$$

   Это график функции $$y=-|x|$$, сдвинутый на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз. Вершина: $$\left(3;-4\right)$$.

   Функция возрастает на $$(-\infty;3]$$ и убывает на $$[3;+\infty)$$.

6. е) $$y=\sqrt{x-1}+3$$

   Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 1 единицу вправо и на 3 единицы вверх. Область определения: $$x\ge 1$$.

   Функция возрастает на $$[1;+\infty)$$.

7. Для функции $$y=f(x),\quad f(x)=-\frac{3}{x}$$

   а) График функции — гипербола с асимптотами $$x=0$$ и $$y=0$$. Для построения можно взять точки:

   $$x$$	$$-6$$	$$-3$$	$$-1$$	$$1$$	$$3$$	$$6$$
   $$y$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$3$$	$$-3$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$

   б) $$f(-3)=1,\quad f(-1)=3,\quad f(1)=-3$$.

   в) При $$y<-1$$:

   $$-\frac{3}{x}<-1$$

   $$\frac{3}{x}>1$$

   Отсюда получаем:

   $$0<x<3$$.

   При $$y\ge -1$$:

   $$x<0 \text{ или } x\ge 3.$$

   г) На отрезке $$[1;3]$$:

   $$f(1)=-3,\quad f(3)=-1.$$

   Значит, $$y_{\min}=-3,\quad y_{\max}=-1.$$

Ответ

а) $$(-\infty;3]$$ — убывает, $$[3;+\infty)$$ — возрастает;
б) $$(-\infty;-2]$$ — убывает, $$[-2;+\infty)$$ — возрастает;
в) $$[-2;+\infty)$$ — убывает;
г) $$(-\infty;-1]$$ — убывает, $$[-1;+\infty)$$ — возрастает;
д) $$(-\infty;3]$$ — возрастает, $$[3;+\infty)$$ — убывает;
е) $$[1;+\infty)$$ — возрастает;
$$f(-3)=1,\ f(-1)=3,\ f(1)=-3;\quad y<-1 \text{ при } 0<x<3;\quad y\ge -1 \text{ при } x<0 \text{ или } x\ge 3;\quad y_{\max}=-1,\ y_{\min}=-3.$$