Упр.31.3 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Постройте график функции и укажите промежутки её возрастания и убывания:
а) $$y=2(x-3)^2+1$$;
г) $$y=\frac{1}{2}(x+1)^2-2$$;
б) $$y=|x+2|+4$$;
д) $$y=-|x-3|-4$$;
в) $$y=-\sqrt{x+2}-4$$;
е) $$y=\sqrt{x-1}+3$$. - Дана функция $$y=f(x)$$, где $$y=-\frac{3}{x}$$.
а) Постройте график функции $$y=f(x)$$.
б) С помощью графика найдите $$f(-3)$$, $$f(-1)$$, $$f(1)$$.
в) Выделите часть графика, соответствующую условию $$y<-1$$. При каких значениях $$x$$ выполняется условие $$y\ ?\ -1$$? г) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $$[1;3]$$.
а) $$y=2(x-3)^2+1$$
Это график функции $$y=2x^2$$, сдвинутый на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Вершина параболы: $$\left(3;1\right)$$.
Функция убывает на $$(-\infty;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty)$$.
б) $$y=|x+2|+4$$
Это график функции $$y=|x|$$, сдвинутый на 2 единицы влево и на 4 единицы вверх. Вершина: $$(-2;4)$$.
Функция убывает на $$(-\infty;-2]$$ и возрастает на $$[-2;+\infty)$$.
в) $$y=-\sqrt{x+2}-4$$
Это график функции $$y=-\sqrt{x}$$, сдвинутый на 2 единицы влево и на 4 единицы вниз. Область определения: $$x\ge -2$$.
Функция убывает на $$[-2;+\infty)$$.
г) $$y=\frac12(x+1)^2-2$$
Это график функции $$y=\frac12x^2$$, сдвинутый на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз. Вершина: $$(-1;-2)$$.
Функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty)$$.
д) $$y=-|x-3|-4$$
Это график функции $$y=-|x|$$, сдвинутый на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз. Вершина: $$\left(3;-4\right)$$.
Функция возрастает на $$(-\infty;3]$$ и убывает на $$[3;+\infty)$$.
е) $$y=\sqrt{x-1}+3$$
Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 1 единицу вправо и на 3 единицы вверх. Область определения: $$x\ge 1$$.
Функция возрастает на $$[1;+\infty)$$.
Для функции $$y=f(x),\quad f(x)=-\frac{3}{x}$$
а) График функции — гипербола с асимптотами $$x=0$$ и $$y=0$$. Для построения можно взять точки:
$$x$$ $$-6$$ $$-3$$ $$-1$$ $$1$$ $$3$$ $$6$$ $$y$$ $$0{,}5$$ $$1$$ $$3$$ $$-3$$ $$-1$$ $$-0{,}5$$ б) $$f(-3)=1,\quad f(-1)=3,\quad f(1)=-3$$.
в) При $$y<-1$$:
$$-\frac{3}{x}<-1$$
$$\frac{3}{x}>1$$
Отсюда получаем:
$$0<x<3$$.
При $$y\ge -1$$:
$$x<0 \text{ или } x\ge 3.$$
г) На отрезке $$[1;3]$$:
$$f(1)=-3,\quad f(3)=-1.$$
Значит, $$y_{\min}=-3,\quad y_{\max}=-1.$$
Ответ
а) $$(-\infty;3]$$ — убывает, $$[3;+\infty)$$ — возрастает;
б) $$(-\infty;-2]$$ — убывает, $$[-2;+\infty)$$ — возрастает;
в) $$[-2;+\infty)$$ — убывает;
г) $$(-\infty;-1]$$ — убывает, $$[-1;+\infty)$$ — возрастает;
д) $$(-\infty;3]$$ — возрастает, $$[3;+\infty)$$ — убывает;
е) $$[1;+\infty)$$ — возрастает;
$$f(-3)=1,\ f(-1)=3,\ f(1)=-3;\quad y<-1 \text{ при } 0<x<3;\quad y\ge -1 \text{ при } x<0 \text{ или } x\ge 3;\quad y_{\max}=-1,\ y_{\min}=-3.$$
