Упр.31.23 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) рх2 + 2 (р + 1)x + р + 3 = 0.

а) Рассмотрим уравнение $$ (p-4)x^2+(2p-4)x+p=0. $$

Если $$p-4=0,$$ то $$p=4.$$ Тогда уравнение становится линейным:

$$ (2\cdot 4-4)x+4=0 $$

$$ 4x+4=0 $$

$$ x=-1. $$

Если $$p\ne 4,$$ то это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$ D=(2p-4)^2-4(p-4)p $$

$$ D=4(p-2)^2-4p(p-4)=4. $$

Тогда

$$ x=\frac{-(2p-4)\pm \sqrt{4}}{2(p-4)}=\frac{-2p+4\pm 2}{2(p-4)}. $$

Получаем корни:

$$ x_1=\frac{-2p+6}{2(p-4)}=\frac{p}{4-p}, \qquad x_2=\frac{-2p+2}{2(p-4)}=-1. $$

б) Рассмотрим уравнение $$ px^2+2(p+1)x+p+3=0. $$

Если $$p=0,$$ то уравнение линейное:

$$ 2x+3=0, \qquad x=-\frac{3}{2}. $$

Если $$p\ne 0,$$ то это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$ D=[2(p+1)]^2-4p(p+3) $$

$$ D=4(p+1)^2-4p(p+3)=4(1-p). $$

Тогда

$$ x=\frac{-2(p+1)\pm \sqrt{4(1-p)}}{2p}=\frac{-(p+1)\pm \sqrt{1-p}}{p}. $$

Чтобы корни были действительными, нужно

$$ 1-p\ge 0, \qquad p\le 1. $$

При этом $$p\ne 0,$$ значит $$0<p\le 1.$$

Ответ

а) $$x=-1$$ при $$p=4$$; $$x=\frac{p}{4-p}$$ и $$x=-1$$ при $$p\ne 4$$.

б) $$x=-\frac{3}{2}$$ при $$p=0$$; $$x=\frac{-(p+1)\pm \sqrt{1-p}}{p}$$ при $$0<p\le 1.$$