Упр.31.16 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (9 — p^2)x < p + 3; б) (p^2 - 4)x > 2 — p. Найдите множество значений переменной, при которых имеет смысл выражение:
а) v(15 — 3x) + v(2x + 6); в) v(21 — 7x) + v(0,5x + 6);
б) (v(4z — 1))/(v(1 — 3z)); г) (v(28 — 7z))/(v(3z — 11)).

Подробный ответ

а) $$\left(9-p^2\right)x<p+3.$$
Разложим на множители:
$$\left(3-p\right)\left(p+3\right)x<p+3.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$p=-3,$$ то получаем $$0\cdot x<0,$$ решений нет.
2) Если $$p=3,$$ то получаем $$0\cdot x<6,$$ верно при любом $$x.$$
3) Если $$p\neq \pm 3,$$ делим на $$p+3$$:
$$\left(3-p\right)x<1.$$
Если $$-3<p<3,$$ то $$3-p>0,$$ значит
$$x<\frac{1}{3-p}.$$
Если $$p<-3$$ или $$p>3,$$ то $$3-p<0,$$ значит
$$x>\frac{1}{3-p}.$$
б) $$\left(p^2-4\right)x>2-p.$$
Разложим на множители:
$$\left(p-2\right)\left(p+2\right)x>2-p.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$p=\pm 2,$$ то левая часть равна нулю, а неравенство либо неверно, либо не имеет решений.
2) Если $$p\neq \pm 2,$$ то
$$x>\frac{2-p}{\left(p-2\right)\left(p+2\right)}=-\frac{1}{p+2}.$$
Знак неравенства зависит от знака $$p^2-4.$$
Если $$-2<p<2,$$ то $$p^2-4<0,$$ поэтому
$$x<-\frac{1}{p+2}.$$
Если $$p<-2$$ или $$p>2,$$ то $$p^2-4>0,$$ поэтому
$$x>-\frac{1}{p+2}.$$
а) $$\sqrt{15-3x}+\sqrt{2x+6}.$$
Для существования выражения нужно:
$$15-3x\ge 0,$$
$$2x+6\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le 5,\qquad x\ge -3.$$
Следовательно,
$$-3\le x\le 5.$$
б) $$\frac{\sqrt{4z-1}}{\sqrt{1-3z}}.$$
Нужно, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны, а знаменатель не равнялся нулю:
$$4z-1\ge 0,$$
$$1-3z>0.$$
Тогда
$$z\ge \frac14,\qquad z<\frac13.$$
Значит,
$$\frac14\le z<\frac13.$$
в) $$\sqrt{21-7x}+\sqrt{0{,}5x+6}.$$
Требуется:
$$21-7x\ge 0,$$
$$0{,}5x+6\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le 3,\qquad x\ge -12.$$
Следовательно,
$$-12\le x\le 3.$$
г) $$\frac{\sqrt{28-7z}}{\sqrt{3z-11}}.$$
Нужно:
$$28-7z\ge 0,$$
$$3z-11>0.$$
Тогда
$$z\le 4,\qquad z>\frac{11}{3}.$$
Следовательно,
$$\frac{11}{3}<z\le 4.$$