Упр.31.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
а) $$|x-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$$;
б) $$|x-\sqrt{3}|=1-\sqrt{3}$$;
в) $$|x-\sqrt{7}|=2\sqrt{7}$$;
г) $$|x-\sqrt{7}|=\sqrt{7}-3$$.
Найдите пересечение множеств $$A$$ и $$B$$, если:
а) $$A=\{a\mid a=2n+1,\ n\in\mathbb{N}\}$$ и $$B=\{b\mid b=4n+3,\ n\in\mathbb{N}\}$$;
б) $$A=\{a\mid a=3n+2,\ n\in\mathbb{N}\}$$ и $$B=\{b\mid b=4n+1,\ n\in\mathbb{N}\}$$.

Подробный ответ

а) $$|x-\sqrt{5}|=\sqrt{5}.$$
Рассмотрим два случая:
1) если $$x\ge \sqrt{5},$$ то
$$x-\sqrt{5}=\sqrt{5}, \quad x=2\sqrt{5};$$
2) если $$x<\sqrt{5},$$ то
$$-(x-\sqrt{5})=\sqrt{5}, \quad -x+\sqrt{5}=\sqrt{5}, \quad x=0.$$
Ответ: $$x=0$$ и $$x=2\sqrt{5}.$$
б) $$|x-\sqrt{3}|=1-\sqrt{3}.$$
Так как $$1-\sqrt{3}<0,$$ то модуль не может быть равен отрицательному числу.
Корней нет.
в) $$|x-\sqrt{7}|=2\sqrt{7}.$$
Рассмотрим два случая:
1) если $$x\ge \sqrt{7},$$ то
$$x-\sqrt{7}=2\sqrt{7}, \quad x=3\sqrt{7};$$
2) если $$x<\sqrt{7},$$ то
$$-(x-\sqrt{7})=2\sqrt{7}, \quad -x+\sqrt{7}=2\sqrt{7}, \quad x=-\sqrt{7}.$$
Ответ: $$x=-\sqrt{7}$$ и $$x=3\sqrt{7}.$$
г) $$|x-\sqrt{7}|=\sqrt{7}-3.$$
Так как $$\sqrt{7}-3<0,$$ то решений нет.
а) $$A=\{a\mid a=2n+1,\ n\in N\}, \quad B=\{b\mid b=4n+3,\ n\in N\}.$$
Тогда
$$A=\{3,5,7,9,11,\dots\}, \quad B=\{7,11,15,19,23,\dots\}.$$
Следовательно,
$$A\cap B=B.$$
б) $$A=\{a\mid a=3n+2,\ n\in N\}, \quad B=\{b\mid b=4n+1,\ n\in N\}.$$
Тогда
$$A=\{5,8,11,14,17,\dots\}, \quad B=\{5,9,13,17,21,\dots\}.$$
Общие элементы этих множеств:
$$A\cap B=\{5,17,29,41,53,\dots\}.$$