Упр.31.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите графически уравнение:
а) $$\left(x-1\right)^2-4=-\left|x-1\right|-2$$;
б) $$-\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2+2=\sqrt{x-2}-1$$;
в) $$-\left|x+1\right|+1=\sqrt{x+4}-2$$;
г) $$\left|x+2\right|-1=-3\left(x+2\right)^2+3$$;
д) $$\frac{1}{4}\left(x+2\right)^2+1=-\sqrt{x+1}+3$$;
е) $$-\sqrt{x-1}+5=\left|x-4\right|+2$$.
Постройте график уравнения:
а) $$xy=-6$$;
б) $$\left(xy+7\right)\left(3x^2-y\right)=0$$;
в) $$\left(y-\sqrt{x-2}+3\right)xy+4=0$$;
г) $$\left(xy+5\right)\left(3\left|x-2\right|-4-y\right)=0$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$y=(x-1)^2-4$$ и $$y=-|x-1|-2.$$
Точки пересечения их графиков дают решения уравнения. По графику получаем:
$$x=0,\; x=2.$$
б) Рассмотрим функции $$y=-\frac12(x-1)^2+2$$ и $$y=\sqrt{x-2}-1.$$
По графику видно, что графики пересекаются при
$$x=3.$$
в) Рассмотрим функции $$y=-|x+1|+1$$ и $$y=\sqrt{x+4}-2.$$
Точка пересечения одна:
$$x=-4,\; x=-3,\; x=0.$$
г) Рассмотрим функции $$y=|x+2|-1$$ и $$y=-3(x+2)^2+3.$$
По графику получаем:
$$x=-3,\; x=-1.$$
д) Рассмотрим функции $$y=\frac14(x+2)^2+1$$ и $$y=-\sqrt{x+1}+3.$$
Графики пересекаются в одной точке:
$$x=0.$$
е) Рассмотрим функции $$y=-\sqrt{x-1}+5$$ и $$y=|x-4|+2.$$
По графику получаем три решения:
$$x=1,\; x=2,\; x=5.$$

Ответ

а) $$x=0,\;2$$; б) $$x=3$$; в) $$x=-4,\;-3,\;0$$; г) $$x=-3,\;-1$$; д) $$x=0$$; е) $$x=1,\;2,\;5$$.

а) $$xy=-6 \Rightarrow y=-\frac{6}{x}, \quad x\ne 0.$$
График — гипербола. Для построения удобно взять несколько точек:
$$x$$ $$-6$$ $$-3$$ $$-2$$ $$-1$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$6$$
$$y$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$6$$ $$-6$$ $$-3$$ $$-2$$ $$-1$$
б) $$\bigl(xy+7\bigr)\bigl(3x^2-y\bigr)=0.$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$xy+7=0 \Rightarrow y=-\frac{7}{x}, \quad x\ne 0,$$
или
$$3x^2-y=0 \Rightarrow y=3x^2.$$
Значит, график уравнения — объединение графиков $$y=-\frac{7}{x}$$ и $$y=3x^2.$$
в) $$\bigl(y-\sqrt{x-2}+3\bigr)(xy)+4=0.$$
Здесь график удобно записать как множество точек, удовлетворяющих уравнению. При $$xy=0$$ получаем
$$4=0,$$
что невозможно. Поэтому нужно учитывать только точки, для которых
$$\bigl(y-\sqrt{x-2}+3\bigr)(xy)=-4.$$
Без дополнительного преобразования построение графика по этому виду не сводится к стандартным элементарным графикам.
г) $$\bigl(xy+5\bigr)\bigl(3|x-2|-4-y\bigr)=0.$$
Следовательно,
$$xy+5=0 \Rightarrow y=-\frac{5}{x}, \quad x\ne 0,$$
или
$$3|x-2|-4-y=0 \Rightarrow y=3|x-2|-4.$$
Значит, график — объединение графиков $$y=-\frac{5}{x}$$ и $$y=3|x-2|-4.$$