Упр.31.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (x — 1)^2 — 4 = -|x — 1| — 2;
б) -1/2 (x — 1)^2 + 2 = v(x — 2) — 1;
в) -|x + 1| + 1 = v(x + 4) — 2;
г) |x + 2| — 1 = -3(x + 2)^2 + 3;
д) 1/4 (x + 2)^2 + 1 = -v(x + 1) + 3;
е) -v(x — 1) + 5 = |x — 4| + 2.
Постройте график уравнения:
а) ху = —6;
б) (ху + 7)(3x^2 — у) = 0;
в) (у — v(x — 2) + 3)(xy) + 4 = 0;
г) (ху + 5)(3|x — 2| — 4 — у) = 0.

1. а) Рассмотрим функции $$y=(x-1)^2-4$$ и $$y=-|x-1|-2.$$

   Точки пересечения их графиков дают решения уравнения. По графику получаем:

   $$x=0,\; x=2.$$

2. б) Рассмотрим функции $$y=-\frac12(x-1)^2+2$$ и $$y=\sqrt{x-2}-1.$$

   По графику видно, что графики пересекаются при

   $$x=3.$$

3. в) Рассмотрим функции $$y=-|x+1|+1$$ и $$y=\sqrt{x+4}-2.$$

   Точка пересечения одна:

   $$x=-4,\; x=-3,\; x=0.$$

4. г) Рассмотрим функции $$y=|x+2|-1$$ и $$y=-3(x+2)^2+3.$$

   По графику получаем:

   $$x=-3,\; x=-1.$$

5. д) Рассмотрим функции $$y=\frac14(x+2)^2+1$$ и $$y=-\sqrt{x+1}+3.$$

   Графики пересекаются в одной точке:

   $$x=0.$$

6. е) Рассмотрим функции $$y=-\sqrt{x-1}+5$$ и $$y=|x-4|+2.$$

   По графику получаем три решения:

   $$x=1,\; x=2,\; x=5.$$

Ответ

а) $$x=0,\;2$$; б) $$x=3$$; в) $$x=-4,\;-3,\;0$$; г) $$x=-3,\;-1$$; д) $$x=0$$; е) $$x=1,\;2,\;5$$.

Ход решения

1. а) $$xy=-6 \Rightarrow y=-\frac{6}{x}, \quad x\ne 0.$$

   График — гипербола. Для построения удобно взять несколько точек:

   $$x$$	$$-6$$	$$-3$$	$$-2$$	$$-1$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$6$$
   $$y$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$6$$	$$-6$$	$$-3$$	$$-2$$	$$-1$$

2. б) $$\bigl(xy+7\bigr)\bigl(3x^2-y\bigr)=0.$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

   $$xy+7=0 \Rightarrow y=-\frac{7}{x}, \quad x\ne 0,$$

   или

   $$3x^2-y=0 \Rightarrow y=3x^2.$$

   Значит, график уравнения — объединение графиков $$y=-\frac{7}{x}$$ и $$y=3x^2.$$

3. в) $$\bigl(y-\sqrt{x-2}+3\bigr)(xy)+4=0.$$

   Здесь график удобно записать как множество точек, удовлетворяющих уравнению. При $$xy=0$$ получаем

   $$4=0,$$

   что невозможно. Поэтому нужно учитывать только точки, для которых

   $$\bigl(y-\sqrt{x-2}+3\bigr)(xy)=-4.$$

   Без дополнительного преобразования построение графика по этому виду не сводится к стандартным элементарным графикам.

4. г) $$\bigl(xy+5\bigr)\bigl(3|x-2|-4-y\bigr)=0.$$

   Следовательно,

   $$xy+5=0 \Rightarrow y=-\frac{5}{x}, \quad x\ne 0,$$

   или

   $$3|x-2|-4-y=0 \Rightarrow y=3|x-2|-4.$$

   Значит, график — объединение графиков $$y=-\frac{5}{x}$$ и $$y=3|x-2|-4.$$

Ответ

а) $$y=-\frac{6}{x}$$; б) $$y=-\frac{7}{x}$$ и $$y=3x^2$$; в) $$\bigl(y-\sqrt{x-2}+3\bigr)(xy)+4=0$$; г) $$y=-\frac{5}{x}$$ и $$y=3|x-2|-4$$.