Упр.31.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

f(x) = {x + 8, если -7 ? x < -4; 2(x + 2)^2 - 4, если -4 ? x < 0; (x - 2)^2 + 2, если 0 ? x ? 4}. Выясните, при каких значениях параметра р уравнение f(x) = р имеет: а) не менее трёх корней; б) более трёх корней. Постройте график функции: а) y = (6 - 3x)/(x^2 - 2x); б) y = (-2/3 x - 4/3)/(x^2 + 2x).

Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} x+8, & -7\le x<-4,\\ 2(x+2)^2-4, & -4\le x<0,\\ (x-2)^2+2, & 0\le x\le 4. \end{cases} $$

Построим её по частям.

• На отрезке $$-7\le x<-4$$ это прямая $$y=x+8$$.
  Точки: $$(-7;1)$$ — закрашенная, $$(-4;4)$$ — выколотая.
• На промежутке $$-4\le x<0$$ это парабола $$y=2(x+2)^2-4$$ с вершиной $$(-2;-4)$$.
  Точки: $$(-4;4)$$ — закрашенная, $$ (0;4)$$ — выколотая.
• На отрезке $$0\le x\le 4$$ это парабола $$y=(x-2)^2+2$$ с вершиной $$ (2;2)$$.
  Точки: $$ (0;6)$$ и $$ (4;6)$$ — закрашенные.

По графику видно, что наименьшее значение функции равно $$-4$$, а наибольшее — $$6$$.
Значит, уравнение $$f(x)=p$$ имеет:

• не менее трёх корней при $$1\le p\le 4$$;
• более трёх корней при $$2\le p<4$$.

Теперь построим графики дробно-рациональных функций.

а)

$$ y=\frac{6-3x}{x^2-2x} =\frac{-3(x-2)}{x(x-2)} =-\frac{3}{x}, \qquad x\ne 0,\ x\ne 2. $$

Это график функции $$y=-\frac{3}{x}$$, но с выколотой точкой $$ (2;-\frac{3}{2})$$.
Асимптоты: $$x=0$$ и $$y=0$$.

б)

$$ y=\frac{-\frac23x-\frac43}{x^2+2x} =\frac{-\frac23(x+2)}{x(x+2)} =-\frac{2}{3x}, \qquad x\ne 0,\ x\ne -2. $$

Это график функции $$y=-\frac{2}{3x}$$, но с выколотой точкой $$(-2;\frac13)$$.
Асимптоты: $$x=0$$ и $$y=0$$.

Ответ

а) $$1\le p\le 4$$;
б) $$2\le p<4$$.
а) $$y=-\frac{3}{x},\ x\ne 0,\ x\ne 2$$;
б) $$y=-\frac{2}{3x},\ x\ne 0,\ x\ne -2$$.