Упр.31.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года.
Постройте график функции $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases} x+8, & \text{если } -7\leq x<-4;\\ 2(x+2)^2-4, & \text{если } -4\leq x<0;\\ (x-2)^2+2, & \text{если } 0\leq x\leq 4. \end{cases}$$ Выясните, при каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет: а) не менее трёх корней; б) более трёх корней. - Задание учебника 2019 года.
Постройте график функции:
а) $$y=\frac{6-3x}{x^2-2x}$$;
б) $$y=\frac{-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}}{x^2+2x}$$.
Рассмотрим функцию
$$f(x)= \begin{cases} x+8, & -7\le x<-4,\\ 2(x+2)^2-4, & -4\le x<0,\\ (x-2)^2+2, & 0\le x\le 4. \end{cases}$$
Построим её по частям.
- На отрезке $$-7\le x<-4$$ это прямая $$y=x+8$$.
Точки: $$(-7;1)$$ — закрашенная, $$(-4;4)$$ — выколотая. - На промежутке $$-4\le x<0$$ это парабола $$y=2(x+2)^2-4$$ с вершиной $$(-2;-4)$$.
Точки: $$(-4;4)$$ — закрашенная, $$(0;4)$$ — выколотая. - На отрезке $$0\le x\le 4$$ это парабола $$y=(x-2)^2+2$$ с вершиной $$(2;2)$$.
Точки: $$(0;6)$$ и $$(4;6)$$ — закрашенные.
По графику видно, что наименьшее значение функции равно $$-4$$, а наибольшее — $$6$$.
Значит, уравнение $$f(x)=p$$ имеет:
- не менее трёх корней при $$1\le p\le 4$$;
- более трёх корней при $$2\le p<4$$.
Теперь построим графики дробно-рациональных функций.
а)
$$y=\frac{6-3x}{x^2-2x} =\frac{-3(x-2)}{x(x-2)} =-\frac{3}{x}, \qquad x\ne 0,\ x\ne 2.$$
Это график функции $$y=-\frac{3}{x}$$, но с выколотой точкой $$(2;-\frac{3}{2})$$.
Асимптоты: $$x=0$$ и $$y=0$$.
б)
$$y=\frac{-\frac23x-\frac43}{x^2+2x} =\frac{-\frac23(x+2)}{x(x+2)} =-\frac{2}{3x}, \qquad x\ne 0,\ x\ne -2.$$
Это график функции $$y=-\frac{2}{3x}$$, но с выколотой точкой $$(-2;\frac13)$$.
Асимптоты: $$x=0$$ и $$y=0$$.
Ответ
а) $$1\le p\le 4$$;
б) $$2\le p<4$$.
а) $$y=-\frac{3}{x},\ x\ne 0,\ x\ne 2$$;
б) $$y=-\frac{2}{3x},\ x\ne 0,\ x\ne -2$$.
