Упр.31.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

f(x) = {-3(x + 3)^2 + 2, если -4 ? x < -2; 2x, если -2 ? x ? 2}. Постройте график функции у = f(x) и определите, при каких значениях р уравнение f(x) = р: а) имеет один корень; б) имеет три корня; в) имеет два корня; г) не имеет корней; д) имеет хотя бы два корня; е) имеет не более одного корня. При каких значениях х прямая: а) у = -1/4 х - 1 расположена ниже гиперболы у = -8/x; б) у = —2х расположена выше гиперболы у = -8/x?

Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} -3(x+3)^2+2, & -4\le x<-2,\\ 2x, & -2\le x\le 2. \end{cases} $$

На промежутке $$-4\le x<-2$$ график — ветвь параболы с вершиной в точке $$(-3;2)$$. На концах получаем:

$$f(-4)=-3\cdot 1+2=-1,$$

$$\lim\limits_{x\to -2-} f(x)=-3\cdot 1+2=-1,$$

но точка $$(-2;-1)$$ для этой части не входит в график.

На промежутке $$-2\le x\le 2$$ график — отрезок прямой $$y=2x$$ от точки $$(-2;-4)$$ до точки $$ (2;4)$$.

Теперь определим, сколько корней имеет уравнение $$f(x)=p$$, то есть сколько раз прямая $$y=p$$ пересекает график функции.

Для параболы значения $$y$$ лежат в промежутке $$-1<y\le 2$$, причём:

• при $$p=-1$$ — один корень;
• при $$-1<p<2$$ — два корня;
• при $$p=2$$ — один корень;
• при $$p<-1$$ или $$p>2$$ — корней нет.

Для отрезка прямой $$y=2x$$ значения $$y$$ лежат в промежутке $$-4\le y\le 4$$, причём:

• при $$-4\le p<-1$$ — один корень;
• при $$-1<p<2$$ — один корень;
• при $$p=2$$ — один корень;
• при $$2<p\le 4$$ — один корень.

Складывая число пересечений для обеих частей графика, получаем:

• при $$-4\le p<-1$$ — один корень;
• при $$p=-1$$ — два корня;
• при $$-1<p<2$$ — три корня;
• при $$p=2$$ — два корня;
• при $$2<p\le 4$$ — один корень;
• при $$p<-4$$ или $$p>4$$ — корней нет.

Значит:

• один корень — при $$-4\le p<-1$$ и при $$2<p\le 4$$;
• три корня — при $$-1<p<2$$;
• два корня — при $$p=-1$$ и $$p=2$$;
• нет корней — при $$p<-4$$ и $$p>4$$;
• хотя бы два корня — при $$-1\le p\le 2$$;
• не более одного корня — при $$p<-1$$ и $$p>2$$.

Для прямой и гиперболы сравним значения функций.

а) $$y=-\frac14x-1$$ ниже $$y=-\frac8x$$, если

$$ -\frac14x-1<-\frac8x. $$

Умножим на $$4x^2$$, учитывая знак $$x$$ при разборе промежутков:

$$ -x^2-4x<-32 $$

$$ x^2+4x-32>0 $$

$$ (x+8)(x-4)>0. $$

С учётом области определения $$x\ne 0$$ получаем:

$$x<-8 \quad \text{или} \quad 0<x<4.$$

б) $$y=-2x$$ выше $$y=-\frac8x$$, если

$$ -2x>-\frac8x. $$

Умножим на $$x^2$$ и рассмотрим знаки на промежутках:

$$ -2x^2>-8 $$

$$ x^2<4. $$

С учётом знака при умножении на $$x$$ получаем итог:

$$-2<x<0 \quad \text{или} \quad 0<x<2.$$

Ответ

а) $$-4\le p<-1$$ и $$2<p\le 4$$;

б) $$-1<p<2$$;

в) $$p=-1$$ и $$p=2$$;

г) $$p<-4$$ и $$p>4$$;

д) $$-1\le p\le 2$$;

е) $$p<-1$$ и $$p>2$$;

а) $$x<-8$$ или $$0<x<4$$;

б) $$-2<x<0$$ или $$0<x<2$$.